2012-大纲卷文-02 单-反函数

本题导读

本题考查反函数的求法，以及函数的定义域与值域。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 函数 $y=\sqrt{x+1}$（$x⩾-1$）的反函数为()

A. $y=x^2-1$（$x⩾0$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y=x^2-1$（$x⩾1$）

C. $y=x^2+1$（$x⩾0$）　　　　　　　　　　　　　　D. $y=x^2+1$（$x⩾1$）

🔍【思路分析】

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$y=\sqrt{x+1}$ 的值域是 $[0,+\infty )$，反解得 $x=y^2-1$，互换后为 $y=x^2-1$（$x⩾0$），选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\sqrt{x+1}$ 得 $y^2=x+1$，即 $x=y^2-1$。

原函数的值域：$x⩾-1$ 时 $x+1⩾0$，故 $y⩾0$。

互换 $x,y$ 得反函数 $y=x^2-1$（$x⩾0$），选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法；“原函数值域 = 反函数定义域”

核心方法：反解 $x$ → 求原函数值域限定新定义域 → 互换变量

避坑指南：最易错的是漏掉定义域 $x⩾0$：反函数的定义域等于原函数的值域 $[0,+\infty )$，不是 $[1,+\infty )$，也不是全体实数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数标准入口题，与 2014 年大纲卷文第 5 题、2013 年大纲卷文第 6 题完全同型（大纲卷连年固定考反函数）。

结论推广：一般地，$y=\sqrt{x+a}$（$x⩾-a$）的反函数为 $y=x^2-a$（$x⩾0$）。

方法推广：求反函数三步：反解 → 定原函数值域 → 互换变量并带上定义域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-05 单-反函数
• 2013-大纲卷文-06 单-反函数