2012-天津卷文-01 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） i 是虚数单位，复数 $\frac{5+3i}{4-i}=$()

A. $1-i$　　　　　　B. $-1+i$　　　　　　C. $1+i$　　　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

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分子分母同乘 $4+i$，化简得 $1+i$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{5+3i}{4-i}=\frac{(5+3i)(4+i)}{(4-i)(4+i)}=\frac{20+5i+12i+3i^2}{17}=\frac{17+17i}{17}=1+i$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法（分母实数化）

核心方法：分子分母同乘共轭 $4+i$，展开后按实虚部分别合并

避坑指南：分母 $(4-i)(4+i)=17$；分子中 $3i\cdot i=3i^2=-3$ 归入实部，符号易错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法入口题，与 2014 年天津卷文第 1 题、2015 年天津卷文第 9 题同族。

结论推广：一般地，$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$。

方法推广：复数除法先分母实数化，再合并实虚部；结果对照四个选项验一次即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-01 单-复数除法
• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2013-天津卷文-09 填-复数乘法