2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前n项和。核心在于转化法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $5$ 项和为 $105$，且 $a_{10}=2a_5$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)对任意 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，将数列 $\{a_n\}$ 中不大于 $7^{2m}$ 的项的个数记为 $b_m$. 求数列 $\{b_m\}$ 的前 $m$ 项和 $S_m$.

🔍【思路分析】

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由 $S_5=105$ 与 $a_{10}=2a_5$ 得 $a_1=d=7$，故 $a_n=7n$；$b_m=7^{2m-1}$，$S_m=\frac{7}{48}(49^m-1)$。

✅【答案】

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(1)$a_n=7n$；(2)$S_m=\frac{7}{48}(49^m-1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公差为 $d$。由 $S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5a_1+10d=105$ 得 $a_1+2d=21$；

由 $a_{10}=2a_5$ 得 $a_1+9d=2(a_1+4d)$，即 $a_1=d$。

代入 $a_1+2d=21$ 得 $a_1=d=7$，故 $a_n=7+(n-1)\times 7=7n$。

（2）$a_n⩽7^{2m}$ 即 $7n⩽7^{2m}$，故 $n⩽7^{2m-1}$，于是 $b_m=7^{2m-1}$。

所以 $\{b_m\}$ 是首项 $b_1=7$、公比 $q=49$ 的等比数列，

$S_m=\frac{7(1-49^m)}{1-49}=\frac{7(49^m-1)}{48}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项与前 n 项和；等比数列的前 n 项和；数列中”项数”的计数问题

核心方法：用两个条件解方程组求 $a_1$ 与 $d$；把”个数”转化为解关于下标的不等式

避坑指南：“不大于 $7^{2m}$ 的项的个数”是下标 $n$ 的个数，不是 $a_n$ 的值；$7^{2m}/7=7^{2m-1}$ 别写成 $7^{2m-1}$ 以外的东西；等比求和 $\frac{1-49^m}{1-49}=\frac{49^m-1}{48}$，符号别错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列与等比数列交汇题，与 2013 年山东卷理第 20 题、2013 年山东卷文第 20 题同族。

结论推广：$a_n⩽M$ 的解集为 $n⩽\left[\text{对应上界}\right]$，故”不大于 $M$ 的项数”就落在下标上；$\{7^{2m-1}\}$ 是公比为 $49$ 的等比数列。

方法推广：两小问数列题：第（1）问列方程组定基本量，第（2）问先弄清”记什么”，再判断新数列的类型并求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和
• 2013-山东卷文-20 解-等差数列错位相减
• 2014-山东卷理-19 解-等差数列的通项与前n项和