2012-江苏卷-21 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查几何证明选讲。核心在于坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$D$，$E$ 为圆 $O$ 上位于 $AB$ 异侧的两点，连接 $BD$ 并延长至点 $C$，使 $BD=DC$，连接 $AC$，$AE$，$DE$.求证：$\angle E=\angle C$.

!

（选修 4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{4}& \frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$，求矩阵 $A$ 的特征值.

（选修 4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，已知圆 $C$ 经过点 $P\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$，圆心为直线 $\rho \sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 与极轴的交点，求圆 $C$ 的极坐标方程.

（选修 4-5：不等式选讲） 已知实数 $x$，$y$ 满足：$|x+y|<\frac{1}{3}$，$|2x-y|<\frac{1}{6}$，求证：$|y|<\frac{5}{18}$.

🔍【思路分析】

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四小题各取一个模块核心定理：A 用 $\angle ADB=90^{\circ }$ 与圆周角定理；B 用 $\mu =\frac{1}{4},-1$ 的倒数；C 得 $\rho =2\cos \theta$；D 得 $|y|<\frac{5}{18}$。

✅【答案】

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A：见解析；B：$4$ 与 $-1$；C：$\rho =2\cos \theta$；D：见解析

✍【详细解析】

Abstract

A：因为 $AB$ 是圆的直径，所以 $\angle ADB=90^{\circ }$。又 $B$，$D$，$C$ 三点共线，故 $AD\perp BC$。由 $BD=DC$，点 $D$ 是 $BC$ 的中点，于是 $AD$ 是等腰三角形 $ABC$ 的中线和高，从而 $AB=AC$ 且 $\angle ABD=\angle ABC=\angle BCA=\angle ACD$。

点 $A$，$B$，$D$，$E$ 在同一圆上，圆周角 $\angle AED$ 与 $\angle ABD$ 同对弦 $AD$，所以 $\angle AED=\angle ABD$。因而 $\angle E=\angle AED=\angle ACD=\angle C$。

B：设 $\mu$ 是矩阵 $A^{-1}$ 的特征值，则 $0=\det (A^{-1}-\mu I)=\left(-\frac{1}{4}-\mu \right)\left(-\frac{1}{2}-\mu \right)-\frac{3}{8}={\mu }^2+\frac{3}{4}\mu -\frac{1}{4}$。

解得 $\mu =\frac{1}{4}$ 或 $\mu =-1$。由于可逆矩阵的特征值与其逆矩阵的特征值互为倒数，矩阵 $A$ 的特征值为 $4$，$-1$。

C：圆心在极轴上，令 $\theta =0$ 代入圆心所在直线，得 $\rho \sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而 $\rho =1$，圆心的直角坐标为 $(1,0)$。点 $P\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$ 的直角坐标为 $(1,1)$，所以圆的半径为 $1$，其直角坐标方程为 $(x-1{)}^2+y^2=1$，即 $x^2+y^2-2x=0$。代入 $x=\rho \cos \theta$，$x^2+y^2={\rho }^2$，得圆的极坐标方程 ${\rho }^2-2\rho \cos \theta =0$，即 $\rho =2\cos \theta$。

D：令 $u=x+y$，$v=2x-y$，解这个二元一次方程组，得 $y=\frac{2u-v}{3}$。因此

$|y|=\frac{|2u-v|}{3}⩽\frac{2|u|+|v|}{3}<\frac{2\times \frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{3}=\frac{5}{18}$。

所以 $|y|<\frac{5}{18}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直径所对的圆周角是直角；同弦圆周角相等；逆矩阵特征值的倒数关系；极坐标与直角坐标互化；绝对值不等式的线性组合放缩

核心方法：A：三线合一构造等腰三角形；B：$\det (A^{-1}-\mu I)=0$；C：圆心与一点定圆；D：凑系数的绝对值不等式

避坑指南：B 中 $A$ 的特征值是 $A^{-1}$ 特征值的倒数（不是相反数）；D 中 $y=\frac{2u-v}{3}$ 的系数 $2$、$-1$ 由解方程组得出，直接用 $x$、$y$ 的原不等式拼凑达不到 $\frac{5}{18}$ 的精度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：江苏卷选做题四模块各一题，与 2013 年江苏卷第 21 题、2014 年江苏卷第 21A/21B 题同族。

结论推广：矩阵特征值满足 $\det (A-\lambda I)=0$，且 $A$ 与 $A^{-1}$ 的特征值互为倒数；圆过极点时极坐标方程形如 $\rho =2R\cos \theta$（圆心在极轴上）。

方法推广：选做题按模块各备一套标准流程：几何证明抓直径与同弦；矩阵抓特征方程；极坐标先定圆心再互化；绝对值不等式先解线性变换再放缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-21 解-几何证明选讲

• 2014-江苏卷-21A 解-几何证明选讲

• 2014-江苏卷-21B 解-矩阵与变换