2012-江西卷文-01 单-共轭复数与复数运算

本题导读

本题考查共轭复数的概念，以及复数的乘法运算与虚部。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 若复数 $z=1+\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），$\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z^2+{\bar{z}}^2$ 的虚部为()

A. $0$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

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$z^2+{\bar{z}}^2=(1+\mathrm{i}{)}^2+(1-\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}+(-2\mathrm{i})=0$，虚部为 $0$，故选 A

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$z=1+\mathrm{i}$，$\bar{z}=1-\mathrm{i}$。

$z^2=(1+\mathrm{i}{)}^2=1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=2\mathrm{i}$，${\bar{z}}^2=(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=-2\mathrm{i}$。

所以 $z^2+{\bar{z}}^2=2\mathrm{i}+(-2\mathrm{i})=0$，其实部、虚部均为 $0$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共轭复数；复数乘法；复数 $a+b\mathrm{i}$ 的虚部是 $b$

核心方法：先分别平方再相加，用 $(1\pm \mathrm{i}{)}^2=\pm 2\mathrm{i}$ 直接得出结果为实数 $0$

避坑指南：易误把 $z^2+{\bar{z}}^2$ 算成 $z^2+{\bar{z}}^2=|z{|}^2\times 2$ 之类的实数后答非所问；本题结果 $0$ 既是实数也是虚部为 $0$ 的复数，虚部应填 $0$ 而不是”无”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共轭复数与复数运算题，与 2012 年湖南卷文第 2 题、2012 年北京卷文第 2 题同族。

结论推广：一般地 $z^2+{\bar{z}}^2=2\mathrm{Re}(z^2)$ 恒为实数；$(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$、$(1-\mathrm{i}{)}^2=-2\mathrm{i}$ 建议直接记住。

方法推广：复数小题先看清目标（虚部、实部、模），再选最短路径：能凑出 $\pm 2\mathrm{i}$ 的平方就不要展开成一般式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-02 单-共轭复数
• 2012-北京卷文-02 单-复数与复平面
• 2012-上海卷文-01 填-复数除法运算