2012-浙江卷文-09 单-基本不等式最值

本题导读

本题考查基本不等式求最值，以及”1”的代换。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 若正数 $x$，$y$ 满足 $x+3y=5xy$，则 $3x+4y$ 的最小值是()

A. $\frac{24}{5}$　　　　　　　B. $\frac{28}{5}$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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条件化为 $\frac{1}{y}+\frac{3}{x}=5$，则 $3x+4y=\frac{(3x+4y)(3/x+1/y)}{5}⩾\frac{13+12}{5}=5$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $x$，$y>0$，将 $x+3y=5xy$ 两边同除以 $xy$，得 $\frac{1}{y}+\frac{3}{x}=5$。

于是

$3x+4y=\frac{1}{5}(3x+4y)\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{5}\left(9+12\cdot \frac{y}{x}+3\cdot \frac{x}{y}+4\right)=\frac{1}{5}\left(13+3\cdot \frac{x}{y}+12\cdot \frac{y}{x}\right)$。

由基本不等式，$3\cdot \frac{x}{y}+12\cdot \frac{y}{x}⩾2\sqrt{36}=12$，故 $3x+4y⩾\frac{13+12}{5}=5$。

当且仅当 $3\cdot \frac{x}{y}=12\cdot \frac{y}{x}$，即 $x=2y$ 时取等号；代入 $x+3y=5xy$ 得 $5y=10y^2$，$y=\frac{1}{2}$，$x=1$，此时 $3x+4y=5$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用基本不等式求最值；乘”1”法

核心方法：把条件式除以 $xy$ 得倒数和，再给目标式乘”1”（即除以 $5$）展开凑出积为定值的两项

避坑指南：展开后交叉项系数是 $12\cdot \frac{y}{x}$ 与 $3\cdot \frac{x}{y}$（积为 $36$），别把系数配错；取等条件 $x=2y$ 必须代回原式检验确实可行。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件最值题，与 2013 年重庆卷理第 3 题、2013 年天津卷理第 14 题同族。

结论推广：已知 $\frac{m}{x}+\frac{n}{y}=k$ 型条件，求 $ax+by$ 最值：$ax+by=\frac{(ax+by)(m/x+n/y)}{k}$ 后展开用基本不等式。

方法推广：条件最值的通法：把约束化成”倒数和”或”和为定值”，再对目标乘”1”拆项，凑出”积定”用基本不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-03 单-利用基本不等式求最值
• 2013-天津卷理-14 填-利用基本不等式求最值
• 2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值