2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及三角形中线向量关系。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$AM=3$，$BC=10$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AM}}^2-{\overrightarrow{MB}}^2=9-25=-16$。

✅【答案】

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$-16$

✍【详细解析】

Abstract

由 $M$ 为 $BC$ 中点，$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=0$，且 $|\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MC}|=\frac{BC}{2}=5$，$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MC}$。

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$，故

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})\cdot (\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})=|\overrightarrow{AM}{|}^2+\overrightarrow{AM}\cdot (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}$

$=|\overrightarrow{AM}{|}^2+0-\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MB}=|\overrightarrow{AM}{|}^2-|\overrightarrow{MB}{|}^2=9-25=-16$。

故答案为 $-16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的运算；中线模型（极化恒等式的雏形）

核心方法：以中线向量 $\overrightarrow{AM}$ 为公共量拆分 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$，利用 $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MC}$ 消去交叉项

避坑指南：$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=-|\overrightarrow{MB}{|}^2$（反向），是 $-25$ 而不是 $+25$；结果为负说明 $\angle A$ 为钝角，可与余弦定理粗核（$a=10>3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中线向量数量积题，与 2013 年天津卷文第 12 题、2014 年上海卷理第 14 题同族。

结论推广：中线长公式来源：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AM}{|}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$。

方法推广：涉及中线（中点）的数量积题，优先用”中点向量分解”，把两个向量化为含同一向量的表达式再展开。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-12 填-向量数量积求边长
• 2014-新课标I卷文-06 单-向量中点
• 2014-上海卷理-14 填-中点向量关系