2013-上海卷文-07 填-二项式系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 设常数 $a\in \mathbf{R}$.若 ${\left(x^2+\frac{a}{x}\right)}^5$ 的二项展开式中 $x^7$ 项的系数为 $-10$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(x^2{)}^{5-k}{\left(\frac{a}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k{a}^k{x}^{10-3k}$。
2. 令 $10-3k=7$ 得 $k=1$。
3. $x^7$ 项系数为 ${\mathrm{C}}_5^1{a}^1=5a=-10$ → $a=-2$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x^2+\frac{a}{x}\right)}^5$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(x^2{)}^{5-k}{\left(\frac{a}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k{a}^k{x}^{2(5-k)-k}={\mathrm{C}}_5^k{a}^k{x}^{10-3k}.$ 令 $10-3k=7$，得 $k=1$。 故 $x^7$ 项为 $T_2={\mathrm{C}}_5^1{a}^1{x}^7=5a{x}^7$，其系数为 $5a$。 由题意 $5a=-10$，解得 $a=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的特定项系数

核心方法：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(x^2{)}^{5-k}{\left(\frac{a}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k{a}^k{x}^{10-3k}$；$10-3k=7$ → $k=1$；${\mathrm{C}}_5^{1}a=5a=-10$ → $a=-2$

避坑指南：指数核算：$(x^2{)}^{5-k}$ 给 $x^{10-2k}$，${\left(\frac{a}{x}\right)}^k$ 给 $x^{-k}$，合计 $x^{10-3k}$，别漏掉 $-k$；系数是组合数 × $a^k$，别把负号 $-10$ 直接当成 $a$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式的指定项系数是填空题高频点，与 2013 大纲文 5、2014 大纲文 13 同型。

结论推广：$(A+B{)}^n$ 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{A}^{n-k}{B}^k$；“指定 $x^m$ 项的系数”先令指数等于 $m$ 定 $k$，再代系数。

方法推广：两项都含 $x$ 时，指数是”两项指数的代数和”，先通分写成同底幂相乘再核算，可避免漏算负指数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
• 2015-上海卷文-11 填-二项式定理