2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角

本题导读

本题考查圆柱的结构特征，以及异面直线所成角。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 已知圆柱 $\Omega$ 的母线长为 $l$，底面半径为 $r$，$O$ 是上底面圆心，$A,B$ 是下底面圆周上两个不同的点，$BC$ 是母线，如图.若直线 $OA$ 与 $BC$ 所成角的大小为 $\frac{\pi }{6}$，则 $\frac{l}{r}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 过 $A$ 作圆柱的母线 $AD$（$D$ 为 $A$ 在上底面的对应点），则 $AD\parallel BC$，$\angle OAD$ 即直线 $OA$ 与 $BC$ 所成的角，为 $\frac{\pi }{6}$。
2. $O$ 是上底面圆心，$D$ 在上底面圆周上，故 $OD=r$；又 $AD\perp$ 上底面，所以 $OD\perp AD$。
3. 在 Rt$△ODA$ 中 $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{OD}{AD}=\frac{r}{l}$，解出 $\frac{l}{r}$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

过 $A$ 作圆柱的母线 $AD$（即 $D$ 是 $A$ 沿母线方向对应到上底面圆周上的点），则 $AD\parallel BC$，$AD=l$。 于是 $\angle OAD$ 就是异面直线 $OA$ 与 $BC$ 所成的角，大小为 $\frac{\pi }{6}$。 因为 $O$ 是上底面圆心，$D$ 在上底面圆周上，所以 $OD=r$；又母线 $AD$ 垂直于上底面，而 $OD$ 在上底面内，故 $OD\perp AD$。 在直角三角形 $ODA$ 中（$\angle ODA=90^{\circ }$）： $\tan \angle OAD=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{OD}{AD}=\frac{r}{l}.$ 由 $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 得 $\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，所以 $\frac{l}{r}=\sqrt{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角（平移法）

核心方法：过 $A$ 作与 $BC$ 平行的母线 $AD$，则 $\angle OAD$ 即 $OA$ 与 $BC$ 所成角 $=\frac{\pi }{6}$；Rt$△ODA$ 中 $OD=r$、$AD=l$、$OD\perp AD$，$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ → $\frac{l}{r}=\sqrt{3}$

避坑指南：异面直线所成角用平移把两条线搬到同一平面：母线都平行，平移最方便；直角三角形的直角在 $D$（$OD$ 在上底面、$AD$ 垂直上底面），别把 $l$ 与 $r$ 的位置放反——$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{r}{l}<1$，若得 $\frac{l}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 就是放反了

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“圆柱 + 异面直线所成角”是旋转体与空间角的交叉考点，与 2014 大纲文 4 的异面直线所成角题同法。

结论推广：求异面直线所成角的标准流程：① 选一点把其中一条线平移到与另一条相交；② 解所得三角形；③ 由”所成角 $\in (0,\frac{\pi }{2}]$“取值。

方法推广：旋转体中母线彼此平行（且垂直于底面），是天然的平移通道；圆柱中”上底面圆心到底面圆周点的距离”仍是半径 $r$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2013-重庆卷文-20 解-圆柱建池体积最大
• 2013-辽宁卷文-13 填-三视图圆柱挖棱柱