2013-上海卷理-20 解-函数最值

本题导读

本题考查函数的基本性质。核心在于建模法、换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 甲厂以 $x$ 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1\le x\le 10$），每小时可获得利润是 $100(5x+1-\frac{3}{x})$ 元.

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 $x$ 的取值范围；

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（不等式求解）：
   • 建立关系：总利润 = 每小时利润 $\times$ 时间。
   • 列式：$2\times 100(5x+1-\frac{3}{x})\ge 3000$。
   • 求解：化简为关于 $x$ 的一元二次不等式，注意结合定义域 $1\le x\le 10$。
2. 第二问（最值问题）：
   • 确定时间：生产总重量为 900 千克，速度为 $x$ 千克/小时，则总生产时间 $t=\frac{900}{x}$ 小时。
   • 建立函数：总利润 $y=\frac{900}{x}\cdot 100(5x+1-\frac{3}{x})=90000(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2})$。
   • 最值求解：观察结构，令 $t=\frac{1}{x}$，原式变为关于 $t$ 的二次函数。通过配方法求出在 $t\in [0.1,1]$ 范围内的最大值。

✅【答案】

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此时 $x=\frac{1}{t}=6$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 根据题意，2 小时获得的利润为 $2\times 100(5x+1-\frac{3}{x})$。 由题意得：$200(5x+1-\frac{3}{x})\ge 3000$。 整理得：$5x+1-\frac{3}{x}\ge 15⟹5x-14-\frac{3}{x}\ge 0$。 因为 $x\ge 1>0$，不等式两边同乘 $x$ 得： $5x^2-14x-3\ge 0$ 因式分解：$(5x+1)(x-3)\ge 0$。 解得 $x\ge 3$ 或 $x\le -\frac{1}{5}$。 结合生产条件要求 $1\le x\le 10$， 得 $x$ 的取值范围为 $[3,10]$。

（2）解： 设生产 900 千克该产品获得的利润为 $y$ 元。 生产所需时间为 $\frac{900}{x}$ 小时。 则 $y=\frac{900}{x}\cdot 100(5x+1-\frac{3}{x})=90000(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2})$。 令 $t=\frac{1}{x}$，由于 $1\le x\le 10$，故 $t\in [0.1,1]$。 则 $y=90000(-3t^2+t+5)$。 对二次函数部分进行配方： $-3t^2+t+5=-3(t^2-\frac{1}{3}t)+5=-3(t-\frac{1}{6}{)}^2+\frac{1}{12}+5=-3(t-\frac{1}{6}{)}^2+\frac{61}{12}$。 当 $t=\frac{1}{6}$ 时，$y$ 取得最大值。 此时 $x=\frac{1}{t}=6$。 由于 $6\in [1,10]$，符合题意。 最大利润 $y_{\max }=90000\times \frac{61}{12}=457500$ 元。 答：甲厂应选取 6 千克/小时的生产速度，最大利润为 457500 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式的解法；利用配方法求二次函数闭区间最值。

核心方法：“复合函数最值转化”。通过换元 $t=1/x$ 将看起来复杂的分式函数结构转化为熟悉的二次函数模型。

避坑指南：- 第二问中，总利润计算时务必记得乘以总时间，不要直接对“每小时利润”求最值。 - 换元后必须写出新变量 $t$ 的取值范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一元二次方程根的分布、导数在求最值中的应用。

结论推广：此类经济应用题常涉及“效率与成本”的权衡。若函数结构为 $ax+\frac{b}{x}+c$，则通常利用均值不等式求解。

方法推广：“复合函数最值转化”。通过换元 $t=1/x$ 将看起来复杂的分式函数结构转化为熟悉的二次函数模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-14 填-三角函数最值
• 2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值
• 2014-上海卷文-09 填-分段函数最值