2013-北京卷文-06 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的循环结构。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 值为()

A. $1$　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　C. $\frac{13}{21}$　　　　　　D. $\frac{610}{987}$

🔍【思路分析】

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1. 第 1 轮：$S=\frac{1^2+1}{2\times 1+1}=\frac{2}{3}$，$i=1<2$，继续。
2. 第 2 轮：$S=\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+1}{2\times \frac{2}{3}+1}=\frac{13}{21}$，$i=2$，退出。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

按框图逐轮模拟： 初始：$i=0$，$S=1$。 第 1 轮：$S=\frac{1^2+1}{2\times 1+1}=\frac{2}{3}$；$i=0+1=1$。判断 $i⩾2$ 不成立，返回循环。 第 2 轮： $S=\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+1}{2\times \frac{2}{3}+1}=\frac{\frac{4}{9}+1}{\frac{4}{3}+1}=\frac{\frac{13}{9}}{\frac{7}{3}}=\frac{13}{9}\times \frac{3}{7}=\frac{13}{21};$ $i=1+1=2$。判断 $i⩾2$ 成立，退出循环，输出 $S=\frac{13}{21}$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图（循环结构）

核心方法：逐轮列表模拟：$S_0=1$，$S\leftarrow \frac{S^2+1}{2S+1}$，$i\leftarrow i+1$，直到 $i⩾2$

避坑指南：循环体执行两轮：$S_1=\frac{2}{3}$、$S_2=\frac{13}{21}$；分式运算别丢——分子 $(\frac{2}{3}{)}^2+1=\frac{13}{9}$、分母 $2\times \frac{2}{3}+1=\frac{7}{3}$，约分得 $\frac{13}{21}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图的循环结构（北京卷高频）。

结论推广：赋值语句按”先算右端再赋给左端”执行；循环直到条件满足才退出（本题 $i⩾2$ 时退出）。

方法推广：框图题三步：认出循环体与退出条件 → 列表逐轮追踪变量 → 按退出时刻读输出值。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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