2013-北京卷文-13 填-分段函数值域

本题导读

本题考查分段函数，以及对数函数的值域。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\log }_{\frac{1}{2}}x,& x⩾1,\\ 2^x,& x<1\end{array}$ 的值域为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x⩾1$：$f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x⩽{\log }_{\frac{1}{2}}1=0$，值域 $(-\infty ,0]$。
2. $x<1$：$f(x)=2^x<2$ 且 $>0$，值域 $(0,2)$。
3. 并集 $(-\infty ,2)$。

✅【答案】

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$(-\infty ,2)$

✍【详细解析】

Abstract

逐段求值域： 当 $x⩾1$ 时，$f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 单调递减，最大值在 $x=1$ 处取得：$f(1)=0$；$x\to +\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$。此段值域为 $(-\infty ,0]$。 当 $x<1$ 时，$f(x)=2^x$ 单调递增，且 $0<2^x<2^1=2$。此段值域为 $(0,2)$。 两段值域的并集： $(-\infty ,0]\cup (0,2)=(-\infty ,2).$ 所以 $f(x)$ 的值域为 $(-\infty ,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的值域

核心方法：$x⩾1$ 时 ${\log }_{\frac{1}{2}}x⩽0$；$x<1$ 时 $2^x<2$，两段并起来

避坑指南：对数段：${\log }_{\frac{1}{2}}x$ 在 $[1,+\infty )$ 上从 $0$ 往下走，值域 $(-\infty ,0]$；指数段开区间 $x<1$ 取不到 $2^1$——并集写成 $(-\infty ,2)$，端点归属别错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数的值域（北京卷常考）。

结论推广：$x⩾1$：${\log }_{\frac{1}{2}}x$ 单调递减，值域 $(-\infty ,0]$；$x<1$：$2^x$ 单调递增，值域 $(0,2)$。

方法推广：分段求值域：逐段求各自的值域（注意区间开闭）→ 取并集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-07 单-程序框图