2013-北京卷文-18 解-导数切线交点

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于求导并判断符号、切线条件列方程的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2+x\sin x+\cos x$.

(1)若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(a,f(a))$ 处与直线 $y=b$ 相切，求 $a$ 与 $b$ 的值;

(2)若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=b$ 有两个不同交点，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 求导：$f^{\prime }(x)=2x+\sin x+x\cos x-\sin x=x(2+\cos x)$。
2. (1) 与水平线相切 → $f^{\prime }(a)=0$，而 $2+\cos a>0$ → $a=0$，$b=f(0)=1$。
3. (2) $f$ 在 $(-\infty ,0)$ 减、$(0,+\infty )$ 增，$f(0)=1$ 最小；$f(x)⩾x^2-|x|-1\to +\infty$。$b>1$ 时两支各一个交点。

✅【答案】

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(1) $a=0$，$b=1$；(2) $b\in (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=2x+\sin x+x\cos x-\sin x=x(2+\cos x)$。 因为 $-1⩽\cos x⩽1$，所以 $2+\cos x>0$。直线 $y=b$ 是水平直线，曲线在 $(a,f(a))$ 处与其相切，故切点满足 $f^{\prime }(a)=0\text{且}f(a)=b.$ 由 $a(2+\cos a)=0$ 及 $2+\cos a>0$，得 $a=0$，进而 $b=f(0)=0+0+\cos 0=1.$ (2) 由 $f^{\prime }(x)=x(2+\cos x)$ 及 $2+\cos x>0$：当 $x<0$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，当 $x>0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 $f(0)=1$ 是最小值。 又 $f(x)⩾x^2-|x|-1$，当 $x\to \pm \infty$ 时 $f(x)\to +\infty$。所以：

• 当 $b>1$ 时，直线 $y=b$ 与左侧、右侧两个单调区间上的图象各恰有一个交点，共两个不同交点；
• 当 $b=1$ 时只有 $x=0$ 一个交点；
• 当 $b<1$ 时没有交点。 故有两个不同交点时 $b\in (1,+\infty ).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与交点个数

核心方法：$f^{\prime }(x)=2x+\sin x+x\cos x-\sin x=x(2+\cos x)$，$2+\cos x>0$ 恒成立，导数符号由 $x$ 决定

避坑指南：水平线 $y=b$ 与曲线相切 ⟺ 切点处 $f^{\prime }(a)=0$ 且 $f(a)=b$——斜率为零是隐藏条件；交点个数先定单调区间，再用最小值 $f(0)=1$ 卡界：$b=1$ 时只有一个交点，端点不取，范围是开区间 $(1,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数研究切线与曲线和直线的交点个数（北京卷导数解答题常规考法）。

结论推广：$f^{\prime }(x)=x(2+\cos x)$；由 $-1⩽\cos x⩽1$ 得 $2+\cos x>0$，故 $f$ 在 $(-\infty ,0)$ 递减、$(0,+\infty )$ 递增，最小值 $f(0)=1$；$f(x)⩾x^2-|x|-1$ 保证 $x\to \pm \infty$ 时 $f(x)\to +\infty$。

方法推广：交点个数两步：单调性分区间 + 极值卡界；“恰有两个交点”的取值范围，开闭由极值点处的交点数决定——极值点处恰好一个交点，故端点取不到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-20 解-导数切线条数
• 2014-新课标II卷文-21 解-导数切线交点