2013-北京卷理-10 填-等比数列通项

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 若等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2+a_4=20$，$a_3+a_5=40$，则公比 $q=$ $\underline{}$；前 $n$ 项和 $S_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求公比 $q$：

   • 观察已知条件：$a_3+a_5$ 的每一项分别是 $a_2+a_4$ 对应项的 $q$ 倍。

   • 利用比例关系：$\frac{a_3+a_5}{a_2+a_4}=\frac{a_{2}q+a_{4}q}{a_2+a_4}=q$。

2. 求首项 $a_1$：

   • 将求得的 $q$ 代入任意一个已知等式，解出 $a_1$。

3. 求前 $n$ 项和 $S_n$：

   • 使用公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入数值并化简。

✅【答案】

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$q=2$；$S_n=2^{n+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解公比 $q$

由等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，

已知条件可以写为：

① $a_2+a_4=a_{1}q+a_1{q}^3=20$

② $a_3+a_5=a_1{q}^2+a_1{q}^4=40$

将式 ② 提取公因式 $q$：

$q(a_{1}q+a_1{q}^3)=40$

将式 ① 代入：

$q\cdot 20=40⟹q=2$。

第二步：求解首项 $a_1$

将 $q=2$ 代入式 ①：

$a_1(2)+a_1(2^3)=20$

$2a_1+8a_1=20⟹10a_1=20⟹a_1=2$。

第三步：计算前 $n$ 项和 $S_n$

已知 $a_1=2,q=2$：

$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^n-1)}{2-1}$

$S_n=2\cdot 2^n-2=2^{n+1}-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的定义 $a_{n+1}/a_n=q$ 及其前 $n$ 项和公式。

核心方法：“整体倍数法”。在处理如 $a_n+a_m$ 类型的等比数列问题时，直接相除通常能快速消掉多余变量求出 $q$。

避坑指南：求和公式中有两个版本，当 $q>1$ 时推荐使用分母为 $q-1$ 的版本，避免负号出错。此外，注意结果的指数化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项、等差数列与等比数列的转化。

结论推广：对于等比数列，若 $S_k$ 表示连续 $k$ 项的和，则 $S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k}$ 仍成等比数列，公比为 $q^k$。

方法推广：涉及数列基本量的求解，本质是解二元方程组（通常是一个乘法关系，一个加法关系）。

🔗【关联脉络】

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