2013-四川卷文-14 填-二倍角求值

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数的基本关系。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 设 $\sin 2\alpha =-\sin \alpha$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，则 $\tan 2\alpha$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2\sin \alpha \cos \alpha =-\sin \alpha$，$\sin \alpha >0$ → $\cos \alpha =-\frac{1}{2}$。
2. $\alpha =\frac{2\pi }{3}$。
3. $\tan 2\alpha =\tan \frac{4\pi }{3}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦二倍角公式，原式化为 $2\sin \alpha \cos \alpha =-\sin \alpha .$ 因 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，$\sin \alpha >0$，两边约去 $\sin \alpha$： $\cos \alpha =-\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{2\pi }{3}.$ 于是 $\tan 2\alpha =\tan \frac{4\pi }{3}=\tan \left(\frac{\pi }{3}+\pi \right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}.$ 故填 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角与同角关系

核心方法：$2\sin \alpha \cos \alpha =-\sin \alpha$，$\sin \alpha >0$ → $\cos \alpha =-\frac{1}{2}$ → $\alpha =\frac{2\pi }{3}$ → $\tan 2\alpha =\tan \frac{4\pi }{3}=\sqrt{3}$

避坑指南：约去 $\sin \alpha$ 前先确认 $\sin \alpha \ne 0$（由 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 保证）；$\cos \alpha =-\frac{1}{2}$ 的符号由第二象限定，取 $+\frac{1}{2}$ 会让 $\alpha$ 落错象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二倍角公式与同角三角函数。

结论推广：正弦二倍角；约分；特殊角。

方法推广：降倍角 → 约去 $\sin \alpha$ → 定角 → 求 $\tan 2\alpha$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角