2013-四川卷理-14 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及奇偶性。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 已知 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的偶函数，当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=x^2-4x$，那么，不等式 $f(x+2)<5$ 的解集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $f(x)<5$ 的解集：
   • 因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(x)<5⟺f(|x|)<5$。
   • 这意味着我们只需要先解出当 $x\ge 0$ 时 $f(x)<5$ 的范围，再利用对称性扩展到全体实数。
2. 求解 $x\ge 0$ 时的部分：
   • 令 $x^2-4x<5⟹x^2-4x-5<0$。
   • 解得 $-1<x<5$。
   • 结合前提条件 $x\ge 0$，得到 $0\le x<5$。
3. 利用偶函数对称性扩展：
   • 因为 $f(x)$ 关于 $y$ 轴对称，若 $0\le x<5$ 满足条件，则 $-5<x\le 0$ 也必然满足条件。
   • 综上，满足 $f(x)<5$ 的自变量整体范围是 $-5<x<5$。
4. 求解复合不等式：
   • 将 $x+2$ 视为整体代入上述范围：$-5<x+2<5$。
   • 通过平移变换求出 $x$ 的最终取值范围。

✅【答案】

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$(-7,3)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解 $x\ge 0$ 时满足 $f(x)<5$ 的 $x$ 范围 当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=x^2-4x$。 由 $x^2-4x<5$ 得： $x^2-4x-5<0⟹(x-5)(x+1)<0$ 解得 $-1<x<5$。 由于前提是 $x\ge 0$，故此时 $0\le x<5$。

第二步：利用偶函数性质求 $f(x)<5$ 的总解集 因为 $f(x)$ 为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称。 满足 $f(x)<5$ 的解集关于原点对称。 由 $x\in [0,5)$ 满足条件推得 $x\in (-5,0]$ 也满足条件。 所以 $f(x)<5$ 的解集为 $\{x\mid -5<x<5\}$。

第三步：求解 $f(x+2)<5$ 令 $t=x+2$，则有 $-5<t<5$。 即： $-5<x+2<5$ 各部分同时减去 2 得： $-7<x<3$

故填入答案为：$(-7,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的基本性质 $f(x)=f(-x)$；利用图象或代数转化处理分段函数不等式。

核心方法：“整体代换法”。先求出最简形式 $f(t)<C$ 的解集，再将 $t$ 替换为具体的复合表达式。

避坑指南：- 不要盲目求出整个 $f(x)$ 的解析式（虽然也可以通过 $f(x)=x^2+4x$ 处理 $x<0$），利用 $|x|$ 进行转化通常更简洁。 - 解集必须以区间或集合的形式书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的平移变换（左加右减）、二次不等式的解法。

结论推广：若 $f(x)$ 是偶函数且在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，则 $f(x_1)<f(x_2)⟺|x_1|<|x_2|$。

方法推广：处理此类抽象性质题，画出草图进行数形结合往往能直观判定范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性