本题导读
本题考查三角形不等式，以及函数的基本性质。
📌【题干】
Question
（2013年四川卷(理)） 设 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到 点的距离之和最小，则称点 为 点的一个“中位点”.例如，线段 上的任意点都是端点 的中位点.则有下列命题：
① 若 三个点共线， 在线段 上，则 是 的中位点；
② 直角三角形斜边上的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③ 若四个点 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的序号）
🔍【思路分析】
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理解“中位点”本质：
点 是中位点 取得最小值。
对于两个点 ，中位点是线段 上的任意点（距离之和恒等于 ，若在外部则大于 ）。
逐项判定：
① 判定：计算 到 的距离和。设 在 之间。由于 ，要使 最小，必须 （即 在 上）且 最小。可知当 与 重合时 最小。
② 判定：寻找反例。直角三角形的顶点与斜边上点的距离和可能不是最小，通常三角形内或顶点处有更优解。
③ 判定：类比一维中位数。当四个点共线时，中位点不唯一，而是中间两个点构成的线段。
④ 判定：利用对角线。四点距离之和即 。根据两点之间线段最短，当 是 交点时同时取得最小值。
✅【答案】
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答案填：①④
✍【详细解析】
Abstract
① 正确性分析：
设 共线且 在线段 上。对于平面内任意点 ：
。
由三角形不等式可知 。
当且仅当 在线段 上时， 取得最小值 。
此时 。要使 最小，只需 最小，即 与 重合。
此时 。故 是中位点。
② 错误性分析（反例法）：
设直角三角形 ， 为直角顶点，。
若取斜边 中点 ，。
若取直角顶点 ，。
可知 ，且直角顶点往往比斜边上的点更接近三个顶点之和的极小值（费马点）。
③ 错误性分析：
设 依次在直线上排列。
。
在线段 上取得最小值 。
在线段 上取得最小值 。
由于 ，故当 在线段 上的任何位置时，两部分同时取极小值。
此时中位点是线段 上的所有点，不唯一。
④ 正确性分析：
设梯形顶点为 （ 为对角线）。
。
要使 最小， 必须在线段 上。
要使 最小， 必须在线段 上。
由于梯形是凸四边形，对角线 与 必有一个交点 。
当且仅当 与 重合时， 和 同时取得极小值。
且交点是唯一的。故命题正确。
故答案填：①④。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：新定义的理解；三角形三边关系的不等式应用；几何极值点的分布。
核心方法：“分组拆分法”。处理四点距离之和时，将其拆解为两组对顶点的距离之和 ，这是解决凸四边形费马点/中位点问题的标准技巧。
避坑指南：- 命题③是经典陷阱，注意 为偶数时，一维中位数通常是一个区间而非单点。 - 命题④成立的前提是该四边形为凸四边形（梯形必为凸四边形）。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：斯内尔定律在几何极值中的应用、凸集的性质。
结论推广：对于不共线的三个点， 的唯一中位点被称为费马点 (Fermat point)。若三角形最大角小于 ，费马点对三边的张角均为 。
方法推广：在统计学中， 个数的中位数即是到所有数距离绝对值之和最小的点。
🔗【关联脉络】
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