2013-大纲卷理-16 填-球表面积

本题导读

本题考查球，以及球的表面积公式。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径，$OK=\frac{3}{2}$，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成角为 $60^{\circ }$，则球 $O$ 的表面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解基本概念：
   • 大圆 $O$：过球心的截面圆，其半径等于球半径 $r$。
   • 小圆 $K$：不过球心的截面圆，设其半径为 $r_K$。
2. 处理公共弦：
   • 设公共弦为 $AB$，已知 $AB=r$。
   • 在圆 $O$ 中，$AB$ 是长度为 $r$ 的弦，则其弦心距（球心 $O$ 到 $AB$ 的距离）为 $d_O=\sqrt{r^2-(\frac{r}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
   • 在圆 $K$ 中，$AB$ 也是弦，其弦心距（圆心 $K$ 到 $AB$ 的距离）为 $d_K$。
3. 利用二面角：
   • 取 $AB$ 的中点 $C$，则 $OC\perp AB$ 且 $KC\perp AB$。故 $\angle OCK$ 即为两平面所成的角 $60^{\circ }$。
   • 注意：在直角三角形 $OKC$ 中（$K$ 是小圆圆心，但 $OK$ 不一定垂直于 $KC$，需根据球的性质判定）。
4. 建立数量关系：
   • 在球中，$OK\perp$ 小圆 $K$ 所在的平面，因此 $OK\perp KC$。
   • 在 $△OKC$ 中，$\angle OKC=90^{\circ }$（根据截面圆性质，球心与截面圆心的连线垂直于截面）。
   • 已知 $OK=\frac{3}{2},\angle OCK=60^{\circ },OC=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。

✅【答案】

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$16\pi$

✍【详细解析】

Abstract


第一步：求出相关线段的表达 设球 $O$ 的半径为 $r$。

1. 大圆 $O$ 内：公共弦 $AB=r$，设 $C$ 为 $AB$ 中点。 则弦心距 $OC=\sqrt{O{A}^2-A{C}^2}=\sqrt{r^2-(\frac{r}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。

第二步：利用空间垂直关系建模 因为圆 $K$ 是截面小圆，其圆心为 $K$，所以 $OK\perp$ 平面 $K$。 又因为 $KC\subset$ 平面 $K$，所以 $OK\perp KC$。 在直角三角形 $△OKC$ 中：

• 斜边 $OC=\frac{\sqrt{3}}{2}r$
• 直角边 $OK=\frac{3}{2}$
• $\angle OCK=60^{\circ }$（即平面 $O$ 与平面 $K$ 的二面角）

第三步：建立方程求解 $r$ 在 $\text{Rt}△OKC$ 中： $\sin \angle OCK=\frac{OK}{OC}$ $\sin 60^{\circ }=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}r}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{\sqrt{3}r}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{r}$ 解得：$r=2$。

第四步：计算球的表面积 根据球的表面积公式 $S=4\pi r^2$： $S=4\pi \times 2^2=16\pi$

故答案为：$16\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的性质（$OK\perp$ 截面）、二面角的几何表示。

核心方法：“辅助三角形法”。通过寻找由球心、截面圆心、弦中点构成的关键直角三角形来破解空间距离问题。

避坑指南：- 必须分清 $OC$ 是大圆的弦心距，而不是半径。 - 确认直角顶点在 $K$ 处（球心到截面圆心的连线垂直于截面）。 - 公共弦 $AB$ 的长度决定了 $OC$ 的数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$、勾股定理空间应用。

结论推广：对于球内两个相交截面，其二面角与两弦心距、球心距构成的三角形满足三角函数关系。

方法推广：处理球的截面问题，一定要画出包含球心和截面圆心的轴截面或特征三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-15 填-球表面积
• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积
• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积