2013-安徽卷理-19 解-线面平行

本题导读

本题考查直线与平面的位置关系。核心在于几何法、辅助线法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 如图，圆锥顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，其母线与底面所成的角为 $22.5^{\circ }$.$AB$ 和 $CD$ 是底面圆 $O$ 上的两条平行的弦，轴 $OP$ 与平面 $PCD$ 所成的角为 $60^{\circ }$.

(1)证明：平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 的交线平行于底面；

(2)求 $\cos \angle COD$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面平行证明）：
   • 核心在于利用“若一条直线平行于两个相交平面的交线，则该直线平行于这两个平面”的逆推思想。
   • 观察到 $AB\parallel CD$，且 $CD\subset$ 平面 $PCD$，$AB\subset$ 平面 $PAB$。根据线面平行的性质定理推导出交线 $l$ 与 $AB,CD$ 的关系。
2. 第二问（角度计算）：
   • 线面角转化：找到 $OP$ 在平面 $PCD$ 上的射影。取 $CD$ 中点 $E$，连接 $OE,PE$。证明 $CD\perp$ 平面 $OEP$，从而得出平面 $OEP\perp$ 平面 $PCD$。故 $OP$ 与平面 $PCD$ 所成的角即为 $\angle OPE=60^{\circ }$。
   • 建立长度关系：设 $OP=h$，在 $△OEP$ 中利用 $60^{\circ }$ 角求出 $OE$；在轴截面（包含母线的直角三角形）中利用 $22.5^{\circ }$ 角求出底面半径 $OC$。
   • 三角变换：利用 $22.5^{\circ }$ 是 $45^{\circ }$ 的一半，结合 $\tan 22.5^{\circ }$ 的值，计算 $\cos \angle COE$。
   • 倍角公式：最后利用 $\cos \angle COD=\cos (2\angle COE)$ 求解。

✅【答案】

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所以 $AB\parallel$ 平面 $PCD$。；故 $\cos \angle COD=17-12\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 设平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 的交线为 $l$。 因为 $AB\parallel CD$，$CD\subset$ 平面 $PCD$，$AB\not\subset$ 平面 $PCD$， 所以 $AB\parallel$ 平面 $PCD$。 又因为 $AB\subset$ 平面 $PAB$，平面 $PAB\cap$ 平面 $PCD=l$， 根据线面平行的性质定理，可得 $AB\parallel l$。 由于 $AB\subset$ 底面，所以交线 $l\parallel$ 底面。

（Ⅱ）解：

取 $CD$ 的中点 $E$，连接 $OE,PE$。 由圆的性质知 $OE\perp CD$。由圆锥对称性，弦 $CD$ 的中垂线通过圆心，且 $PO\perp$ 底面，故 $PO\perp CD$。 因为 $OE\cap PO=O$，所以 $CD\perp$ 平面 $OEP$。 又 $CD\subset$ 平面 $PCD$，所以平面 $OEP\perp$ 平面 $PCD$。 故直线 $PO$ 在平面 $PCD$ 上的射影为 $PE$， 则 $OP$ 与平面 $PCD$ 所成的角为 $\angle OPE=60^{\circ }$。

设 $OP=h$，在直角 $△OEP$ 中，$OE=OP\cdot \tan 60^{\circ }=\sqrt{3}h$。 在直角 $△OCP$ 中（$PC$ 为母线），母线与底面成角 $\angle OCP=22.5^{\circ }$， 故底面半径 $OC=\frac{OP}{\tan 22.5^{\circ }}=\frac{h}{\tan 22.5^{\circ }}$。

计算 $\tan 22.5^{\circ }$： 由 $\tan 45^{\circ }=\frac{2\tan 22.5^{\circ }}{1-{\tan }^{2}22.5^{\circ }}=1$，解得 $\tan 22.5^{\circ }=\sqrt{2}-1$（负值舍去）。 则 $OC=\frac{h}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}+1)h$。

在直角 $△OCE$ 中，$\cos \angle COE=\frac{OE}{OC}=\frac{\sqrt{3}h}{(\sqrt{2}+1)h}=\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{3}$。 则 $\cos \angle COD=\cos (2\angle COE)=2{\cos }^2\angle COE-1$ $=2(\sqrt{6}-\sqrt{3}{)}^2-1=2(6+3-2\sqrt{18})-1$ $=2(9-6\sqrt{2})-1=18-12\sqrt{2}-1=17-12\sqrt{2}$

故 $\cos \angle COD=17-12\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角的定义是计算的关键。必须通过严格证明找到射影，避免主观臆断。

核心方法：“辅助线转换”。取弦的中点构造垂直面是解决圆、圆柱、圆锥问题的标准辅助线。

避坑指南：计算量较大，特别是 $\tan 22.5^{\circ }$ 的处理和最后的平方展开，需仔细检查根号运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角的计算、余弦定理。

结论推广：在圆锥中，若已知轴与侧面/截面的夹角，其几何关系由截面到轴的距离决定。

方法推广：涉及特殊角（如 $22.5^{\circ },15^{\circ }$）的几何题，往往需要配合倍角或半角公式进行数值闭合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行