2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 给定两个命题 $p,q$.若 $\neg p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件，则 $p$ 是 $\neg q$ 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻译已知条件：
   • “$\neg p$ 是 $q$ 的必要条件”意味着 $q⟹\neg p$。
   • “$\neg p$ 是 $q$ 的不充分条件”意味着 $\neg p\nRightarrow q$。
2. 利用逆否命题等价性：
   • 命题 $q⟹\neg p$ 的逆否命题是 $p⟹\neg q$。
   • 命题 $\neg p\nRightarrow q$ 的逆否命题是 $\neg q\nRightarrow p$。
3. 判断目标关系：
   • 根据推导结果 $p⟹\neg q$ 且 $\neg q\nRightarrow p$，判定 $p$ 与 $\neg q$ 的关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：将文字语言转化为逻辑符号。 已知 $\neg p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件：

• 由“必要条件”得：$q⟹\neg p$
• 由“不充分条件”得：$\neg p\nRightarrow q$

第二步：进行逻辑等价变换。

• 对于 $q⟹\neg p$，其逆否命题为：$p⟹\neg q$。这说明 $p$ 是 $\neg q$ 的充分条件。
• 对于 $\neg p\nRightarrow q$，其逆否命题为：$\neg q\nRightarrow p$。这说明 $p$ 不是 $\neg q$ 的必要条件。

第三步：得出结论。 综上所述，$p⟹\neg q$ 成立且 $\neg q⟹p$ 不成立。 所以 $p$ 是 $\neg q$ 的充分而不必要条件。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件（若 $A⟹B$ 则 $A$ 充分）、必要条件（若 $B⟹A$ 则 $A$ 必要）。

核心方法：逻辑推导符号化。处理带有否定词“$\neg$”的逻辑题时，利用逆否命题（原命题与逆否命题同真同假）可以有效消除否定号带来的思维混乱。

避坑指南：- 分清“谁是谁的条件”。本题问的是“$p$ 是 $\neg q$ 的什么条件”，起点是 $p$，终点是 $\neg q$。 - 不要漏掉“而不充分”或“而不必要”的判定，确保逻辑箭头的单向性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四种命题的关系、复合命题的否定。

结论推广：在逻辑推导中，“非”运算（$\neg$）会反转推导的箭头的指向位置（通过逆否命题）。

方法推广：集合观点判定——若命题 $p,q$ 对应的集合分别为 $P,Q$，则 $p⟹q$ 等价于 $P\subseteq Q$。

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