2013-广东卷文-21 解-三次函数闭区间最值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于作差因式分解定号、分类讨论判别式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3-k{x}^2+x$（$x\in \mathbf{R}$）.

(1)当 $k=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)当 $k<0$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[k,-k]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$.

🔍【思路分析】

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1. （1）$f^{\prime }=3x^2-2x+1$，$\Delta =4-12<0$ → $f^{\prime }>0$ 恒成立 → 增区间 $\mathbf{R}$。
2. （2）$f(k)=k$，$f(-k)=-2k^3-k$；$f(x)-k=(x-k)(x^2+1)⩾0$，$f(x)-f(-k)=(x+k)\left[(x-k{)}^2+k^2+1\right]⩽0$（$x\in [k,-k]$）→ $m=k$，$M=-2k^3-k$。

✅【答案】

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(1)单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，无单调递减区间；(2)$m=k$，$M=-2k^3-k$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $k=1$ 时，$f(x)=x^3-x^2+x$， $f^{\prime }(x)=3x^2-2x+1.$ 判别式 $\Delta =(-2{)}^2-4\times 3=4-12=-8<0$，且开口向上，故 $f^{\prime }(x)>0$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立。 所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，没有单调递减区间。 （2）$k<0$，区间 $[k,-k]$，先计算端点值： $f(k)=k^3-k\cdot k^2+k=k,f(-k)=(-k{)}^3-k\cdot (-k{)}^2+(-k)=-2k^3-k.$ 最小值：对任意 $x\in [k,-k]$， $f(x)-f(k)=x^3-k{x}^2+x-k=x^2(x-k)+(x-k)=(x-k)(x^2+1).$ 由 $x⩾k$ 得 $x-k⩾0$，又 $x^2+1>0$，故 $f(x)-f(k)⩾0$，当且仅当 $x=k$ 时取等号。 所以 $m=f(k)=k$。 最大值：对任意 $x\in [k,-k]$， $f(x)-f(-k)=x^3-k{x}^2+x+2k^3+k.$ 由于 $x=-k$ 是根，按 $x+k$ 分解（或作多项式除法）： $f(x)-f(-k)=(x+k)\left(x^2-2kx+2k^2+1\right)=(x+k)\left[(x-k{)}^2+(k^2+1)\right].$ 其中二次因式 $(x-k{)}^2+(k^2+1)>0$ 恒成立；又 $x⩽-k$ 得 $x+k⩽0$，故 $f(x)-f(-k)⩽0$，当且仅当 $x=-k$ 时取等号。 所以 $M=f(-k)=-2k^3-k$。 综上：$m=k$，$M=-2k^3-k$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数在闭区间上的最值

核心方法：$f(x)-f(k)=f(x)-k=(x-k)(x^2+1)⩾0$；$f(x)-f(-k)=(x+k)\left[(x-k{)}^2+k^2+1\right]⩽0$（$x⩽-k$）→ $m=k$，$M=-2k^3-k$

避坑指南：直接对 $f\acute{=}3x^2-2kx+1$ 分类讨论（判别式 $4k^2-12$ 的符号、极值点与区间端点比较）很繁琐——先算端点值 $f(k)=k$、$f(-k)=-2k^3-k$，再作差分解因式，用恒正因式 $(x^2+1)$、$(x-k{)}^2+k^2+1$ 一步定全局最值；把 $M$ 写成 $2(-k{)}^3-(-k)$ 或丢掉 $-k$ 项都是常见笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究闭区间最值（三次函数，因式分解定最值，广东卷解答题压轴）。

结论推广：端点值预判 + 作差因式分解（恒正因式）定全局最值；$f^{\prime }$ 判别式辅助验证单调性。

方法推广：求导看 $\Delta$ → 端点值作差 → 恒正因式定号 → 下结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2013-山东卷文-21 解-导数含参单调比较
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值