2013-新课标I卷理-10 单-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆，以及椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的右焦点为 $F(3,0)$，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点．若 $AB$ 的中点坐标为 $(1,-1)$，则 $E$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{36}=1$　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$

C. $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{18}=1$　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用焦点信息：已知 $c=3$，根据椭圆性质有 $a^2-b^2=c^2=9$。
2. 计算直线斜率：直线 $AB$ 经过焦点 $F(3,0)$ 和中点 $P(1,-1)$，利用两点式求出直线 $AB$ 的斜率 $k$。
3. 应用点差法：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程并作差，构造包含中点坐标 $(x_0,y_0)$ 和斜率 $k$ 的等式：$\frac{x_0}{a^2}+\frac{k\cdot y_0}{b^2}=0$。
4. 联立求解：结合 $a,b$ 的比例关系与 $a^2-b^2=9$ 求出 $a^2$ 和 $b^2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求直线斜率 $k$ 直线过右焦点 $F(3,0)$ 和中点 $M(1,-1)$。 则直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=\frac{-1-0}{1-3}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$。

第二步：利用点差法建立 $a,b$ 关系 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，它们在椭圆上： $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ ① $\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$ ② ① - ② 得：$\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0$ $\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^2}=0$ 变形得：$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{b^2(x_1+x_2)}{a^2(y_1+y_2)}$

第三步：代入已知量 中点 $M(1,-1)$，即 $x_1+x_2=2,y_1+y_2=-2$；斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{1}{2}$。 代入上式：$\frac{1}{2}=-\frac{b^2\cdot 2}{a^2\cdot (-2)}⟹\frac{1}{2}=\frac{b^2}{a^2}$ 得 $a^2=2b^2$。

第四步：联立焦点参数求解 已知 $c=3$，则 $a^2-b^2=c^2=9$。 将 $a^2=2b^2$ 代入： $2b^2-b^2=9⟹b^2=9$。 则 $a^2=2\times 9=18$。 椭圆方程为 $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中点弦斜率公式 $\frac{y_0}{x_0}\cdot k=-\frac{b^2}{a^2}$。这是一个解析几何中非常实用的二级结论。

核心方法：点差法。凡是涉及圆锥曲线弦的中点问题，点差法通常是最简洁的路径，避免了繁琐的联立方程与判别式计算。

避坑指南：- 使用点差法结论时，务必核对中点坐标的符号，不要代错。 - 注意题目给的是“右焦点”，如果是 $y$ 轴上的焦点，方程形式及点差法结论会有所变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率定义。

结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点差法结论为 $k\cdot \frac{y_0}{x_0}=\frac{b^2}{a^2}$。

方法推广：若题目给出的不是中点而是弦长，则需回归“联立方程 + 韦达定理 + 弦长公式”的标准程序。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆