2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值。核心在于求导定单调性、设切点写切线的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2{\mathrm{e}}^{-x}$.

(1)求 $f(x)$ 的极小值和极大值；

(2)当曲线 $y=f(x)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=2x{\mathrm{e}}^{-x}-x^2{\mathrm{e}}^{-x}=x(2-x){\mathrm{e}}^{-x}$，符号由 $x(2-x)$ 决定。
2. （1）$x<0$ 减、$0<x<2$ 增、$x>2$ 减，故极小值 $f(0)=0$、极大值 $f(2)=4{\mathrm{e}}^{-2}$。
3. （2）斜率 $f^{\prime }(t)<0\Rightarrow t<0$ 或 $t>2$；截距 $x_l=t-\frac{t^2{\mathrm{e}}^{-t}}{t(2-t){\mathrm{e}}^{-t}}=t-\frac{t}{2-t}=\frac{t(1-t)}{2-t}$，分两支求值域。

✅【答案】

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(1)极小值为 $0$（在 $x=0$ 处取得），极大值为 $\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}$（在 $x=2$ 处取得） (2)$(-\infty ,0)\cup [3+2\sqrt{2},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 ${\mathrm{e}}^{-x}>0$，所以 $f^{\prime }(x)=2x{\mathrm{e}}^{-x}-x^2{\mathrm{e}}^{-x}=x(2-x){\mathrm{e}}^{-x}.$ 符号由 $x(2-x)$ 决定：

• 当 $x<0$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $0<x<2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x>2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 又 $f(x)=x^2{\mathrm{e}}^{-x}⩾0$ 且 $f(0)=0$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值 $f(0)=0,$ 在 $x=2$ 处取得极大值 $f(2)=2^2{\mathrm{e}}^{-2}=\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}.$ （2） 设切线 $l$ 与曲线相切于 $(t,f(t))$，则 $l$ 的斜率 $k=f^{\prime }(t)<0$，由（1）的符号分析知 $t<0\text{或}t>2.$ 切线与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_l$ 满足 $0=f(t)+f^{\prime }(t)(x_l-t),$ 即 $x_l=t-\frac{f(t)}{f^{\prime }(t)}=t-\frac{t^2{\mathrm{e}}^{-t}}{t(2-t){\mathrm{e}}^{-t}}=t-\frac{t}{2-t}=\frac{t(1-t)}{2-t}.$ 记 $\phi (t)=\frac{t(1-t)}{2-t}=\frac{t-t^2}{2-t}$，则 ${\phi }^{\prime }(t)=\frac{(1-2t)(2-t)+(t-t^2)}{(2-t{)}^2}=\frac{2-t-4t+2t^2+t-t^2}{(2-t{)}^2}=\frac{t^2-4t+2}{(2-t{)}^2}.$ 当 $t<0$ 时：分子 $t^2-4t+2>0$，故 ${\phi }^{\prime }(t)>0$，$\phi (t)$ 单调递增；又 $\phi (t)\to -\infty$（$t\to -\infty$）且 $\phi (0)=0$，所以 $x_l\in (-\infty ,0).$ 当 $t>2$ 时：令 ${\phi }^{\prime }(t)=0$ 得 $t^2-4t+2=0$，即 $t=2\pm \sqrt{2}$，在 $t>2$ 内取 $t=2+\sqrt{2}$。 $\phi (t)$ 在 $(2,2+\sqrt{2})$ 上递减、在 $(2+\sqrt{2},+\infty )$ 上递增，且 ${\lim }_{t\to 2^{+}}\phi (t)=+\infty ,\phi (2+\sqrt{2})=\frac{(2+\sqrt{2})(1-2-\sqrt{2})}{2-2-\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})}{-\sqrt{2}}=\frac{-(2+3\sqrt{2}+2)}{-\sqrt{2}}=\frac{4+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2},$ ${\lim }_{t\to +\infty }\phi (t)=+\infty ,$ 所以 $x_l\in [3+2\sqrt{2},+\infty ).$ 综上，截距的取值范围为 $(-\infty ,0)\cup [3+2\sqrt{2},+\infty ).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究函数的极值、曲线的切线截距

核心方法：先求 $f^{\prime }(x)=x(2-x){\mathrm{e}}^{-x}$ 定单调性，再用切点处的切线方程求 $x$ 轴截距并求值域

避坑指南：切点横坐标 $t$ 的取值条件是 $f^{\prime }(t)<0$，即 $t<0$ 或 $t>2$；截距 $x_l=\frac{t(1-t)}{2-t}$ 在 $t>2$ 支的最小值 $3+2\sqrt{2}$ 是取得到的（$t=2+\sqrt{2}$ 允许），故为闭端点 $[3+2\sqrt{2},+\infty )$；$t<0$ 支的 $0$ 取不到，是开场端 $(-\infty ,0)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与切线（全国卷必考大题）。

结论推广：$(x^2{\mathrm{e}}^{-x}{)}^{\prime }=x(2-x){\mathrm{e}}^{-x}$；曲线在 $(t,f(t))$ 处的切线为 $y-f(t)=f^{\prime }(t)(x-t)$，与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_l=t-\frac{f(t)}{f^{\prime }(t)}$。

方法推广：切线截距问题两步：设切点 → 写切线并求截距表达式（化为只含 $t$ 的函数）→ 在 $t$ 的允许区间上求值域（注意端点取舍）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-21 解-导数切线交点
• 2015-新课标II卷文-16 填-导数切线
• 2013年新课标Ⅱ理-21