2013-江西卷理-09 单-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆，以及圆的方程。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 过点 $(\sqrt{2},0)$ 引直线 $l$ 与曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，当 $△AOB$ 的面积取最大值时，直线 $l$ 的斜率等于()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $-\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 识别曲线：曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 变形为 $x^2+y^2=1$ ($y\ge 0$)，表示圆心在原点，半径 $R=1$ 的上半圆。
2. 面积建模：在 $△AOB$ 中，$OA=OB=R=1$。 利用面积公式：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB=\frac{1}{2}\sin \angle AOB$。
3. 寻找最值条件：当 $\sin \angle AOB=1$，即 $\angle AOB=90^{\circ }$ 时，面积取得最大值 $\frac{1}{2}$。
4. 几何转化：若 $△AOB$ 是直角三角形且 $OA=OB=1$，则原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离 $d$（即等腰直角三角形斜边上的高）满足： $d=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{1\times 1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
5. 求解斜率：设直线方程，利用点到直线距离公式求斜率 $k$，最后根据半圆图象筛选符合条件的 $k$ 值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设直线方程。 点 $P(\sqrt{2},0)$ 在圆外。设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-\sqrt{2})$，即 $kx-y-\sqrt{2}k=0$。

第二步：利用距离公式。 根据思路分析，当面积最大时，圆心 $(0,0)$ 到直线的距离 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$： $\frac{|k\cdot 0-0-\sqrt{2}k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 两边平方得： $\frac{2k^2}{k^2+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $4k^2=k^2+1⟹3k^2=1⟹k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

第三步：结合图形筛选。 观察曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$（上半圆）与点 $P(\sqrt{2},0)$：

• 若 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}>0$，直线向右上方倾斜，与上半圆没有交点。
• 若 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0$，直线向右下方倾斜，与上半圆交于 $A,B$ 两点。 因此，$k$ 只能取 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 在圆中的应用。 2. 隐含条件：$y=\sqrt{R^2-x^2}$ 这种形式一定要注意 $y\ge 0$ 的半圆限制，这是解析几何中常见的“陷阱”。 3. 计算技巧：在处理 $△AOB$（$O$ 为圆心）的面积时，直接利用圆心角 $\theta$ 来分析比联立方程求弦长更简洁。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 在圆中的应用。 2. 隐含条件：$y=\sqrt{R^2-x^2}$ 这种形式一定要注意 $y\ge 0$ 的半圆限制，这是解析几何中常见的“陷阱”。 3. 计算技巧：在处理 $△AOB$（$O$ 为圆心）的面积时，直接利用圆心角 $\theta$ 来分析比联立方程求弦长更简洁。

结论推广：类似地，若直线与圆相交，弦长 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$。面积也可以表示为 $S=d\cdot \sqrt{R^2-d^2}$，利用均值不等式可知当 $d^2=R^2-d^2$ 即 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}R$ 时面积最大。

方法推广：对于含根号的曲线方程，优先考虑其几何意义（圆、椭圆或双曲线的分支），采用“几何法”通常比“代数法”效率更高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-15 填-直线与圆
• 2015-湖南卷文-13 填-直线与圆
• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆