2013-江西卷理-11 填-倍角公式

本题导读

本题考查倍角公式，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 函数 $y=\sin 2x+2\sqrt{3}{\sin }^{2}x$ 的最小正周期 $T$ 为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 降幂处理：观察到式中含有 ${\sin }^{2}x$，利用二阶降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 将其转化为关于 $2x$ 的表达式。
2. 合一变形：利用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$ 将函数统一为一个正弦项。
3. 计算周期：根据 $y=A\sin (\omega x+\varphi )+B$ 的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 得出答案。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对函数式进行降幂变形。 $y=\sin 2x+2\sqrt{3}\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}$ $y=\sin 2x+\sqrt{3}(1-\cos 2x)$ $y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+\sqrt{3}$

第二步：利用辅助角公式合并。 提取系数 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$： $y=2\left(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)+\sqrt{3}$ $y=2\sin (2x-\frac{\pi }{3})+\sqrt{3}$

第三步：确定最小正周期。 函数解析式中 $\omega =2$。 则最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

故填入答案为：$\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：化简是解决三角函数性质问题（周期、对称轴、最值）的前提。看到 ${\sin }^{2}x$ 或 ${\cos }^{2}x$ 优先考虑降幂，看到 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 异名同角一次式叠加优先考虑合一。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的对称中心与对称轴的求解、单调区间的求法。

结论推广：函数 $y=a\sin \omega x+b\cos \omega x+c$ 的周期仅由 $\omega$ 决定，与 $a,b,c$ 无关。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

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