2013-浙江卷文-05 单-三视图组合体

本题导读

本题考查三视图，以及组合体的体积。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是()

A. $108{\mathrm{cm}}^3$　　　　B. $100{\mathrm{cm}}^3$　　　　C. $92{\mathrm{cm}}^3$　　　　D. $84{\mathrm{cm}}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由三视图：几何体是长、宽、高分别为 $6$、$6$、$3$ 的长方体挖去一个三棱锥。
2. 被挖三棱锥三条侧棱两两垂直，长分别为 $4$、$4$、$3$，$V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4\times 4\times 3=8$。
3. $V=6\times 6\times 3-8=108-8=100$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由三视图还原：该几何体是一个长、宽、高分别为 $6$、$6$、$3$ 的长方体，从一个顶点处挖去一个三棱锥（三视图中 $4+2=6$ 定出长与宽，$3$ 为高；被挖三棱锥的三条侧棱长即 $4$、$4$、$3$）。 长方体体积： $V_1=6\times 6\times 3=108.$ 挖去的三棱锥：三条侧棱两两垂直，底面是直角边为 $4$ 和 $4$ 的直角三角形，高为 $3$， $V_2=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 4\times 4\right)\times 3=8.$ 故该几何体的体积 $V=V_1-V_2=108-8=100({\mathrm{cm}}^3).$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原组合体并求体积

核心方法：长方体 $6\times 6\times 3$（图中 $4+2=6$ 定长宽、$3$ 定高）挖去角上三棱锥（三条侧棱 $4$、$4$、$3$ 两两垂直）：$108-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 4\times 4\times 3=100$

避坑指南：被挖去的三棱锥体积是 $\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 4\times 4\right)\times 3=8$，三棱锥体积带系数 $\frac{1}{3}$、底面三角形再带 $\frac{1}{2}$——两个系数漏一个就会错成 $108-24$ 或 $108-48$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图与组合体体积（浙江卷经典”挖角”模型）。

结论推广：长方体体积 $V=abc$；三棱锥体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{底}h$；从长方体顶点挖去的三棱锥，三条两两垂直的棱长即其底面直角边与高。

方法推广：“整体减局部”求体积：先还原主体（长方体），再识别挖去部分（顶点处的三棱锥，三视图中对应三处直角边数据），体积相减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-10 填-三视图体积
• 2013-新课标I卷文-11 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-07 填-三视图体积