2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 4. 已知函数 $f(x)=A\cos (\omega x+\varphi )$ ($A>0,\omega >0,\varphi \in \mathbf{R}$)，则“$f(x)$ 是奇函数”是“$\varphi =\frac{\pi }{2}$”的 $($\quad\quad$)$

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 充分性判定：若 $f(x)$ 是奇函数，推导 $\varphi$ 的取值集合。利用奇函数定义，对于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数，必有 $f(0)=0$。
2. 必要性判定：若 $\varphi =\frac{\pi }{2}$，利用诱导公式化简 $f(x)$，判断其是否为奇函数。
3. 逻辑结论：比较“$f(x)$ 是奇函数”对应的 $\varphi$ 集合与单元素集合 $\{\frac{\pi }{2}\}$ 的大小关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析必要性（右 $⟹$ 左） 若 $\varphi =\frac{\pi }{2}$，则： $f(x)=A\cos \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)$ 根据诱导公式 $\cos (\alpha +\frac{\pi }{2})=-\sin \alpha$，得： $f(x)=-A\sin (\omega x)$ 因为 $y=\sin (\omega x)$ 是奇函数，且 $A\ne 0$，所以此时 $f(x)$ 必为奇函数。 即“$\varphi =\frac{\pi }{2}$” $⟹$ “$f(x)$ 是奇函数”。

第二步：分析充分性（左 $⟹$ 右） 若 $f(x)=A\cos (\omega x+\varphi )$ 是奇函数，则其图象关于原点对称。 对于 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，必有 $f(0)=0$： $f(0)=A\cos (0+\varphi )=A\cos \varphi =0$ 因为 $A>0$，所以 $\cos \varphi =0$。 解得：$\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbf{Z}$)。 由此可见，“$f(x)$ 是奇函数”推导出的是一个无穷集合，而不一定能推出“$\varphi =\frac{\pi }{2}$”。 即“$f(x)$ 是奇函数” $/⟹$ “$\varphi =\frac{\pi }{2}$”。

第三步：逻辑判断 由上述分析可知：

• “$\varphi =\frac{\pi }{2}$”是“$f(x)$ 是奇函数”的充分条件。
• “$f(x)$ 是奇函数”是“$\varphi =\frac{\pi }{2}$”的必要条件。

题目问的是“$f(x)$ 是奇函数”是“$\varphi =\frac{\pi }{2}$”的什么条件，答案应为必要不充分条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦型函数 $y=\cos (\omega x+\varphi )$ 为奇函数的充要条件是 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbf{Z}$)；为偶函数的充要条件是 $\varphi =k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

核心方法：判定充要条件时，将两个条件分别视为集合 $P$ 和 $Q$，若 $P\subset Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分条件，$Q$ 是 $P$ 的必要条件。

避坑指南：注意题目问句的顺序，“$A$ 是 $B$ 的什么条件”和“$B$ 的充分条件是 $A$”逻辑指向相同，不要读反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象的平移变换、三角函数的对称轴与对称中心。

结论推广：$f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )$ 为奇函数的充要条件是 $\varphi =k\pi$；为偶函数的充要条件是 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

方法推广：解决三角函数性质与逻辑结合题，先将性质（奇偶性、周期性、对称性）翻译成参数的取值集合，再进行逻辑判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2026-北京卷-07 单-充分必要条件
• 2025-北京卷-07 单-充分必要条件
• 2013-福建卷文-02 单-充要条件判定