2013-浙江卷理-12 填-三视图还原

本题导读

本题考查三视图，以及由三视图还原直观图。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 12. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 $\underline{}$ ${\text{cm}}^3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原直观图：
   • 俯视图为一个直角边分别为 $3,4$ 的直角三角形，说明底面是三角形。
   • 正视图和侧视图的外轮廓均为矩形，这暗示该几何体原本可能是一个三棱柱。
   • 观察正视图和侧视图内部的实线，发现从高为 $5$ 的三棱柱顶部到底部存在切割痕迹。
2. 识别几何体构成：该几何体可以看作是一个底面积为 $\frac{1}{2}\times 3\times 4$、高为 $5$ 的直三棱柱，被截去了一个底面相同、高为 $3$ 的三棱锥。
3. 计算体积：利用 $V=V_{\text{柱}}-V_{\text{锥}}$ 进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

24

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定底面信息 由俯视图可知，几何体的底面是一个直角三角形，面积为： $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6{\text{ cm}}^2$

第二步：分析切割情况 由正视图和侧视图可知：

• 原始直三棱柱的高 $h_{\text{柱}}=3+2=5\text{ cm}$。
• 顶部被截去部分是一个三棱锥，其底面与棱柱底面全等，高 $h_{\text{锥}}=3\text{ cm}$。

第三步：计算总体积 利用割补法公式： $V=V_{\text{棱柱}}-V_{\text{棱锥}}$ $V=S_{\text{底}}\cdot h_{\text{柱}}-\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h_{\text{锥}}$ $V=6\times 5-\frac{1}{3}\times 6\times 3$ $V=30-6=24{\text{ cm}}^3$

故答案为：24。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的识图能力；柱体与锥体的体积公式 $V_{\text{柱}}=Sh$，$V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}Sh$。

核心方法：“割补法”。对于非标准几何体，将其补全为规则的柱体再减去多余部分，通常比直接划分成多个碎块计算更简便。

避坑指南：还原直观图时，要注意虚实线的区别。本题均为实线，说明切痕在视线可及的表面。另外，要注意高度的读取，不要将 $3$ 误认为总高度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多面体的外接球体积、几何体的表面积计算。

结论推广：在三视图中，若两个视图的轮廓是矩形，第三个是多边形，该几何体多为柱体或柱体的组合。

方法推广：面对复杂切割，可以尝试在长方体模型中画出切痕，辅助想象。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图