2013-湖北卷理-04 单-辅助角公式

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 将函数 $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x$ ($x\in \mathbb{R}$) 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位长度后，所得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是()

A. $\frac{\pi }{12}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 化简原函数：利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$ 将函数统一成正弦型函数。
2. 执行平移变换：根据“左加”原则，将解析式中的 $x$ 替换为 $x+m$。
3. 利用对称性建立等式：图象关于 $y$ 轴对称意味着所得函数为偶函数。对于 $y=A\sin (\omega x+\alpha )$，其为偶函数的充要条件是相位 $\alpha =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
4. 求最小值：结合 $m>0$ 的限制条件，找出最小的正数 $m$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简函数解析式 $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$ 利用正弦和角公式： $y=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

第二步：进行平移变换 将函数 $y=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象向左平移 $m$ 个单位，得到新函数： $y^{\prime }=2\sin \left((x+m)+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+m+\frac{\pi }{3}\right)$

第三步：利用对称性求解 由于新图象关于 $y$ 轴对称，则 $y^{\prime }=2\sin \left(x+m+\frac{\pi }{3}\right)$ 是偶函数。 由偶函数性质可知，此时图象的最高点或最低点应在 $y$ 轴上，即当 $x=0$ 时，相位应满足： $m+\frac{\pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ 整理得： $m=k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{6},k\in \mathbb{Z}$

第四步：确定最小值 已知 $m>0$，令 $k=0$，得 $m$ 的最小值为： $m_{\min }=\frac{\pi }{6}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“相位分析法”。若函数关于 $y$ 轴对称，相位必须使得 $x=0$ 时取到最值；若函数关于原点对称，相位必须使得 $x=0$ 时函数值为 $0$。

避坑指南：- 平移是针对自变量 $x$ 本身，不是针对整个相位。 - 注意辅助角公式中 $\cos$ 前的系数和 $\sin$ 前的系数不要放反位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的单调性区间求法、周期性计算。

结论推广：函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 关于 $y$ 轴对称 $⟺\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$；关于原点对称 $⟺\varphi =k\pi$。

方法推广：对于向右平移，相位变为 $\frac{\pi }{3}-m$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-13 填-辅助角恒成立
• 2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式