2013-湖南卷理-07 单-由直观图确定三视图

本题导读

本题考查三视图，以及由直观图确定三视图。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()

A. $1$　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 分析条件限制：俯视图是一个面积为 1 的正方形。由于正方体棱长为 1，这意味着正方体的一个面必须平放在水平面上（即底面与俯视图投影面平行）。
2. 动态模拟正视图：
   • 正方体可以在水平面上以垂直于底面的中心轴进行旋转。
   • 旋转过程中，正视图即为正方体在垂直投影面上的正投影。
3. 确定面积范围：
   • 最小值：当正方体的一对侧面平行于正视图投影面时，正视图是边长为 1 的正方形，面积 $S_{\min }=1\times 1=1$。
   • 最大值：当正方体的体对角线面（即由相对两条侧棱构成的矩形）平行于正视图投影面时，正视图是一个矩形，其宽为底面对角线长 $\sqrt{2}$，高为棱长 $1$，面积 $S_{\max }=\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}$。
4. 得出结论：正视图面积 $S$ 的取值范围是 $[1,\sqrt{2}]$。比对选项即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定摆放姿态 由于俯视图是面积为 1 的正方形，说明正方体不仅底面水平，且投影面垂直于底面。此时，正视图的高度固定为 1。

第二步：计算正视图宽度的变化规律 设底面正方形的一条边与正视图投影面所成的角为 $\theta$ ($\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$)。 则正方体在正视图方向上的投影宽度 $L$ 为两条相邻侧边投影长度之和（或由转角确定的投影宽）： $L=1\cdot \cos \theta +1\cdot \sin \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$

第三步：确定面积 $S$ 的范围 正视图面积 $S=\text{宽}\times \text{高}=L\times 1=\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$。

• 当 $\theta =0$ 或 $\frac{\pi }{2}$ 时，$S=1$（对应选项 A）。
• 当 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 时，$S=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$（对应选项 B）。 所以 $S\in [1,\sqrt{2}]$。

第四步：数值比对

• $\sqrt{2}\approx 1.414$。
• 选项 C：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx \frac{1.414-1}{2}=0.207<1$，不在范围内。
• 选项 D：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}\approx \frac{1.414+1}{2}=1.207\in [1,1.414]$，在范围内。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何体旋转投影的极值问题。 2. 关键模型：正方体绕垂直轴旋转时，其侧向投影宽度的变化范围是 $[1,\sqrt{2}]$。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意题目问的是“不可能”等于。一定要先确定高度被锁定为 1，否则若正方体斜放，情况会复杂得多。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正投影的面积公式 $S^{\prime }=S\cdot \cos \theta$（仅适用于平面图形投影）。

结论推广：如果不限制俯视图为面积为 1 的正方形（即正方体可以任意倾斜），其任意方向投影面积的最大值为 $\sqrt{3}$（当投影方向平行于体对角线时）。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图