2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 使得 ${\left(3x+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)}^n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 的展开式中含有常数项的最小的 $n$ 为()

A. 4

B. 5

C. 6

D. D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 化简指数：将根式 $\sqrt{x}$ 转化为分分数指数幂 $x^{1/2}$，整理通项中 $x$ 的总指数。
3. 令指数为零：常数项意味着 $x$ 的指数为 0，从而得到关于 $n$ 和 $r$ 的等式。
4. 求最小值：根据 $r$ 是整数且 $0\le r\le n$ 的约束条件，寻找满足等式的最小正整数 $n$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出二项展开式的通项公式 对于二项式 ${\left(3x+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)}^n$，其第 $r+1$ 项为： $T_{r+1}=C_n^r(3x{)}^{n-r}{\left(\frac{1}{x\cdot x^{1/2}}\right)}^r$ $T_{r+1}=C_n^r\cdot 3^{n-r}\cdot x^{n-r}\cdot (x^{-3/2}{)}^r$ $T_{r+1}=C_n^r\cdot 3^{n-r}\cdot x^{n-r-\frac{3}{2}r}$

第二步：建立常数项的条件方程 若展开式中含有常数项，则 $x$ 的指数必为 0： $n-r-\frac{3}{2}r=0$ 整理得： $n-\frac{5}{2}r=0⟹n=\frac{5}{2}r$

第三步：求 $n$ 的最小值 由于 $n,r$ 均为非负整数，且 $r$ 是项数相关的变量（$0\le r\le n$）： 要使 $n$ 为整数，$r$ 必须是 $2$ 的倍数。

• 当 $r=2$ 时，$n=\frac{5}{2}\times 2=5$。 此时满足 $0\le r\le n$，且 $n$ 为正整数。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。 2. 关键步骤：准确处理根式的幂运算，$\frac{1}{x\sqrt{x}}=x^{-3/2}$ 是化简的关键。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意 $r$ 的取值范围是从 $0$ 到 $n$ 的整数。在建立 $n$ 与 $r$ 的关系后，通过观察倍数关系寻找最小整数解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合数性质、幂的运算法则。

结论推广：对于 $(a{x}^p+b{x}^q{)}^n$ 形式的展开式，常数项存在的充要条件是 $\frac{np}{p-q}$ 为整数（其中 $r=\frac{np}{p-q}$）。

方法推广：此类方法同样适用于求特定次数项（如 $x^2$ 项）的系数，只需令总指数等于目标次数即可。

🔗【关联脉络】

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