2013-重庆卷文-08 单-三视图四棱柱表面积

本题导读

本题考查空间几何体的三视图，以及棱柱的表面积。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

A. $180$　　　　　　B. $200$　　　　　　C. $220$　　　　　　D. $240$

🔍【思路分析】

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1. 还原：横放直四棱柱，柱长 $10$；底面等腰梯形：上底 $2$、下底 $8$、高 $4$、腰 $5$。
2. $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}(2+8)\times 4=20$，两个底面 $40$。
3. $S_{\text{侧}}=(2+8+5+5)\times 10=200$。
4. $S=40+200=240$ → D。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

还原几何体：正（主）视图是长 $10$、宽 $4$ 的矩形，侧（左）视图是下底 $8$、高 $4$ 的等腰梯形，俯视图是长 $10$、宽 $8$ 且在内部有两条平行于长边的分界线（把宽 $8$ 分成 $3,2,3$）的矩形。由此可知该几何体是一个横放的直四棱柱： · 柱长（侧棱）$10$； · 底面是等腰梯形：下底 $8$、上底 $2$、高 $4$。 由梯形的对称性，腰长 $=\sqrt{3^2+4^2}=5$（水平投影 $(8-2)/2=3$，竖直高 $4$）。 计算表面积： 两个底面（等腰梯形）： $2\times S_{\text{梯}}=2\times \frac{1}{2}\times (2+8)\times 4=40.$ 四个侧面（矩形，宽分别为 $2,8,5,5$，长均为 $10$）： $S_{\text{侧}}=(2+8+5+5)\times 10=20\times 10=200.$ 故表面积 $S=40+200=240.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由三视图求直四棱柱的表面积

核心方法：三视图还原为横放的直四棱柱：柱长（侧棱）$10$，底面（侧面轮廓）为等腰梯形——下底 $8$、上底 $2$（俯视图中 $3+2+3$ 的中段）、高 $4$，腰 $\sqrt{3^2+4^2}=5$。$S_{\text{底}}=\frac{1}{2}(2+8)\times 4=20$，$S_{\text{侧}}=(2+8+5+5)\times 10=200$ → $S=2\times 20+200=240$

避坑指南：三视图中正视图的长 $=$ 俯视图的长 $=$ 柱长 $10$，侧视图与俯视图共同给出梯形的”上底 $2$、下底 $8$、高 $4$“——上底 $2$ 藏在俯视图的中间那一段里，漏看会当成三角形或矩形；表面积 = 两个底面 + 四个侧面，一个都别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由三视图还原几何体并求表面积。

结论推广：三视图还原几何体；梯形面积公式；直棱柱侧面积公式（底面周长 × 高）。

方法推广：读三视图定形状与尺寸 → 算底面（梯形）面积 → 周长乘柱长得侧面积 → 相加。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-04 单-三视图正四棱锥
• 2013-北京卷文-10 填-三视图体积
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积