2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角

本题导读

本题考查空间向量与空间角。核心在于空间向量坐标法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$BC=CD=2$，$AC=4$，$\angle ACB=\angle ACD=\frac{\pi }{3}$，$F$ 为 $PC$ 的中点，$AF\perp PB$.

(1)求 $PA$ 的长；

(2)求二面角 $B-AF-D$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求 $PA$ 长）：
   • 建立坐标系：观察底面 $ABCD$，由于 $BC=CD$ 且 $AC$ 为角平分线，根据等腰三角形性质，连接 $BD$ 交 $AC$ 于 $O$，则 $AC\perp BD$。以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。
   • 坐标表示：计算底面各点坐标。设 $PA=h$，表示出 $P$ 点和 $F$ 点（中点公式）的坐标。
   • 利用垂直关系：根据 $AF\perp PB⟺\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，建立关于 $h$ 的方程。
2. 第二问（求二面角）：
   • 求法向量：分别计算平面 $BAF$ 和平面 $DAF$ 的法向量 ${\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2$。
   • 公式计算：利用 $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$ 计算法向量夹角的余弦值。
   • 判定符号：根据图形判定二面角是锐角还是钝角，从而确定余弦值的正负。

✅【答案】

点击查看答案

求平面 $DAF$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$；求平面 $BAF$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$；计算二面角的余弦值

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

连接 $BD$ 交 $AC$ 于 $O$。因为 $BC=CD=2$ 且 $AC$ 平分 $\angle BCD$，所以 $△BCD$ 为等腰三角形，故 $AC\perp BD$。 以 $O$ 为坐标原点，射线 $OB,OC$ 分别为 $x,y$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 在 $△BOC$ 中，$BC=2,\angle BCO=60^{\circ }$，得： $OC=BC\cdot \cos 60^{\circ }=1$，$OB=BC\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$。 又 $AC=4$，则 $AO=AC-OC=3$。 各点坐标为：$A(0,-3,0),B(\sqrt{3},0,0),C(0,1,0),D(-\sqrt{3},0,0)$。 设 $PA=h$ ($h>0$)，由于 $PA\perp$ 底面，则 $P(0,-3,h)$。 因为 $F$ 为 $PC$ 中点，由中点公式得 $F(0,-1,\frac{h}{2})$。

则 $\overrightarrow{AF}=(0,2,\frac{h}{2})$，$\overrightarrow{PB}=(\sqrt{3},3,-h)$。 由 $AF\perp PB⟹\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{PB}=0\times \sqrt{3}+2\times 3+\frac{h}{2}\times (-h)=0$。 即 $6-\frac{h^2}{2}=0⟹h^2=12⟹h=2\sqrt{3}$。 所以 $PA$ 的长为 $2\sqrt{3}$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知 $h=2\sqrt{3}$，则各点坐标及向量如下： $A(0,-3,0),B(\sqrt{3},0,0),D(-\sqrt{3},0,0),F(0,-1,\sqrt{3})$。 $\overrightarrow{AF}=(0,2,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},3,0)$，$\overrightarrow{AD}=(-\sqrt{3},3,0)$。

1. 求平面 $DAF$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AD}=-\sqrt{3}{x}_1+3y_1=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AF}=2y_1+\sqrt{3}{z}_1=0\end{array}$ 令 $y_1=\sqrt{3}$，得 $x_1=3,z_1=-2$。故 ${\vec{n}}_1=(3,\sqrt{3},-2)$。

2. 求平面 $BAF$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AB}=\sqrt{3}{x}_2+3y_2=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AF}=2y_2+\sqrt{3}{z}_2=0\end{array}$ 令 $y_2=\sqrt{3}$，得 $x_2=-3,z_2=-2$。故 ${\vec{n}}_2=(-3,\sqrt{3},-2)$。

3. 计算二面角的余弦值： 设二面角 $B-AF-D$ 为 $\theta$， $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{3\times (-3)+\sqrt{3}\times \sqrt{3}+(-2)\times (-2)}{\sqrt{9+3+4}\cdot \sqrt{9+3+4}}$ $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{-9+3+4}{16}=\frac{-2}{16}=-\frac{1}{8}$。

根据图形判定，二面角 $B-AF-D$ 的平面角与其法向量夹角互补（或相等），结合其几何位置可知该二面角为钝角，其余弦值为 $-\frac{1}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“空间向量法”。在已知垂直关系明确的立体几何题中，建系计算比纯几何作图（找二面角的平面角）更具普适性。 5. 易错点：法向量的方向判定。二面角的余弦值可能是正也可能是负，必须通过观察直观图来最后锁定。

避坑指南：第一问求出 $PA$ 后，要仔细检查向量坐标。$F$ 是中点，不要算错坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到平面的距离、线面角的正弦值。

结论推广：对于底面是对称图形（如菱形、筝形）的棱锥，利用对角线互相垂直建立坐标系是最简便的。

方法推广：涉及线线垂直求参数，数量积为 0 是最直接的建模工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 2023-新高考II卷-13 填-平面向量
• 2015-新课标II卷文-04 单-平面向量