2014-四川卷理-15 填-函数的值域与定义域

本题导读

本题通过定义两个函数集合 A 和 B，考查对“值域为 R”以及“值域包含对称区间 [-M, M]”这两个抽象性质的理解。题目综合性强，要求学生具备严谨的逻辑推理能力和构造反例的能力。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 以 $A$ 表示值域为 $\mathbb{R}$ 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\phi (x)$ 组成的集合：对于函数 $\phi (x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\phi (x)$ 的值域包含区间 $[-M,M]$.例如，当 ${\phi }_1(x)=x^3,{\phi }_2(x)=\sin x$ 时，${\phi }_1(x)\in A,{\phi }_2(x)\in B$.现有如下命题：

① 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则“$f(x)\in A$”的充要条件是“$\forall b\in \mathbb{R},\exists a\in D,f(a)=b$”；

② 函数 $f(x)\in B$ 的充要条件是 $f(x)$ 有最大值和最小值；

③ 若函数 $f(x),g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x)\in A,g(x)\in B$，则 $f(x)+g(x)\notin B$；

④ 若函数 $f(x)=a\ln (x+2)+\frac{x}{x^2+1}(x>-2,a\in \mathbb{R})$ 有最大值，则 $f(x)\in B$.

其中的真命题有 $\underline{}$.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解集合 A 和 B：
   • $A$: 值域正好等于 $(-\infty ,+\infty )$。
   • $B$: 值域包含某一个以原点为中心的闭区间。这意味着函数值域可以是全集，也可以是 $[-1,1]$，但不能是 $(0,+\infty )$（因为不包含任何 $[-M,M]$）。
2. 分析命题 ①：考察值域的定义。
3. 分析命题 ②：寻找反例。值域包含 $[-M,M]$ 并不代表一定要有闭合的端点。
4. 分析命题 ③：考察“值域为 $\mathbb{R}$”的函数加上一个“值域包含局部区间”的函数后的表现。
5. 分析命题 ④：分析具体函数。当 $a\ne 0$ 时，对数项会导致函数无界，结合最大值存在性推导参数 $a$ 的值。

✅【答案】

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①④ （若依据部分参考资料中对 ③ 的判定，则为 ①③④。但在标准函数理论下，值域为 R 的函数属于 B）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证命题 ① 根据函数值域的定义：值域为 $\mathbb{R}$ 意味着 $\mathbb{R}$ 中的每一个数 $b$ 在定义域中都能找到对应的自变量 $a$ 使得 $f(a)=b$。 这与逻辑表达式 $\forall b\in \mathbb{R},\exists a\in D,f(a)=b$ 完全等价。 故命题 ① 为真。

第二步：验证命题 ②

• 充分性：若函数有最大值 $G$ 和最小值 $L$，且 $L<0<G$，则值域包含 $[L,G]$。只要取 $M=\min (|L|,|G|)$，则值域包含 $[-M,M]$。但若 $L,G$ 同号则不成立。
• 必要性：考虑函数 $f(x)=x$。其值域为 $\mathbb{R}$，可知包含任意 $[-M,M]$，故 $f(x)\in B$。但该函数在 $\mathbb{R}$ 上既无最大值也无最小值。 故命题 ② 为假。

第三步：验证命题 ③ 若 $f(x)\in A$，则其值域为 $\mathbb{R}$。 若 $g(x)\in B$，其值域包含某个 $[-M,M]$。 考虑 $f(x)+g(x)$。由于 $f(x)$ 覆盖了整个实数轴，若 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)+g(x)$ 的值域仍为 $\mathbb{R}$。 若值域为 $\mathbb{R}$，它必然包含任何一个区间 $[-M,M]$，从而属于集合 $B$。 这与结论 $f(x)+g(x)\notin B$ 矛盾。 例如：$f(x)=x\in A$，$g(x)=\sin x\in B$，则 $f(x)+g(x)=x+\sin x$，其值域为 $\mathbb{R}$，属于 $B$。 故命题 ③ 为假。 (注：解析图中认为 ③ 正确，可能是对 $\notin$ 符号的逻辑判断或对 $B$ 集合定义的理解差异。按照标准逻辑，$A\subset B$，若和的值域为 $\mathbb{R}$，则必在 $B$ 中。)

第四步：验证命题 ④ $f(x)=a\ln (x+2)+\frac{x}{x^2+1}$。

• 当 $x\to -2^{+}$ 时，$\ln (x+2)\to -\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$\ln (x+2)\to +\infty$。
• 若 $a>0$，则 $f(x)$ 无最大值（趋于 $+\infty$）；若 $a<0$，则 $f(x)$ 无最大值（在 $-2$ 附近趋于 $+\infty$）。
• 若 $f(x)$ 有最大值，必有 $a=0$。
• 此时 $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$。其值域为 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$。
• 该值域包含区间 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$，取 $M=1/2$，满足 $B$ 集合定义。 故命题 ④ 为真。

故答案为 ①④ （若依据部分参考资料中对 ③ 的判定，则为 ①③④但在标准函数理论下，值域为 R 的函数属于 B）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义概念的精准对标。 2. 逻辑陷阱：注意 $A$ 和 $B$ 的关系。由于 $\mathbb{R}$ 包含任何闭区间，所以 $A\subseteq B$。任何值域为 $\mathbb{R}$ 的函数一定属于 $B$。

2. 核心方法：紧扣新定义逐条验证，用反例与极限思想判断真假

3. 避坑指南：命题 ④ 是典型的通过极限思想确定参数的题目，抓住“有最大值”这个关键限制条件进行突破。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 新定义概念的精准对标。 2. 逻辑陷阱：注意 $A$ 和 $B$ 的关系。由于 $\mathbb{R}$ 包含任何闭区间，所以 $A\subseteq B$。任何值域为 $\mathbb{R}$ 的函数一定属于 $B$。

2. 结论推广: 值域为 $\mathbb{R}$ 的函数必属于 $B$（$A\subseteq B$）。

3. 方法推广: 抽象新定义命题的判定可用特例构造反例

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-陕西卷理-01 单-函数定义域