2014-安徽卷理-02 单-充分条件与必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定。解题关键在于准确解出对数不等式，并根据逻辑条件的包含关系判断其性质，同时注意对数函数定义域的限制。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） “$x<0$”是“$\ln (x+1)<0$”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 解不等式：求出满足条件 $q:\ln (x+1)<0$ 的 $x$ 的取值范围。注意对数函数的定义域 $x+1>0$。
2. 确定集合关系：设条件 $p:x<0$ 对应的集合为 $P$，条件 $q:\ln (x+1)<0$ 对应的集合为 $Q$。
3. 判定逻辑性质：
   • 若 $Q⊊P$，则 $p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件。
   • 若 $P⊊Q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分而不必要条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解不等式 $\ln (x+1)<0$ 根据对数函数的性质： $\{\begin{array}{ll}x+1>0& \text{(定义域限制)}\\ x+1<e^0=1& \text{(单调性性质)}\end{array}$ 解得：$-1<x<0$。 记条件 $q$ 对应的集合 $Q=\{x|-1<x<0\}$。

第二步：分析条件 $x<0$ 记条件 $p$ 对应的集合 $P=\{x|x<0\}$。

第三步：比较集合包含关系 可知，集合 $Q=(-1,0)$ 是集合 $P=(-\infty ,0)$ 的真子集，即 $Q⊊P$。 这意味着：

• 由 $\ln (x+1)<0$ 可以推导出 $x<0$（充分性成立）；
• 但由 $x<0$ 推不出 $\ln (x+1)<0$（例如 $x=-2$ 时，$\ln (-1)$ 无意义），即必要性成立但充分性不成立。 反之，以 $p$ 为主体判断：$q⟹p$ 但 $p/⟹q$。 因此，“$x<0$”是“$\ln (x+1)<0$”的必要而不充分条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的判定、对数不等式的解法。

2. 核心方法：分别求出两条件的集合，比较集合包含关系判定充分、必要。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合包含关系与充要条件的等价转化。

2. 结论推广: $q⟹p$ 但 $p/⟹q$ 时，$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

3. 方法推广: 用集合观点判定充要条件，注意对数函数定义域限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

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