2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程

本题导读

$h=2k$、$r=h$、$2\sqrt{r^2-k^2}=2\sqrt{3}$ ⟹ $k=1$，圆 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 圆心在直线 $x-2y=0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴相切，圆 $C$ 截 $x$ 轴所得弦的长为 $2\sqrt{3}$，则圆 $C$ 的标准方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$h=2k$、$r=h$、$2\sqrt{r^2-k^2}=2\sqrt{3}$ ⟹ $k=1$，圆 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$。

✅【答案】

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$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心 $(h,k)$，半径 $r$。

圆心在 $x-2y=0$ 上：$h=2k$；与 $y$ 轴相切：$r=|h|$，且切点在 $y$ 轴正半轴 ⟹ $h>0$，$r=h=2k$（$k>0$）。

圆心到 $x$ 轴的距离为 $k$，由勾股（半弦、弦心距、半径）：

$(\sqrt{3}{)}^2+k^2=r^2$，即 $3+k^2=4k^2$，$k=1$。

所以 $h=2$，$r=2$，圆的标准方程为 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程；切线的几何条件；垂径定理（弦长）

2. 核心方法：“圆心—半径”双条件设参列方程组

3. 避坑指南：①”与 $y$ 轴正半轴相切”既给 $r=|h|$ 又给 $h>0$（切点纵坐标 $k>0$），两个信息都要用；②弦长公式 $2\sqrt{r^2-d^2}$ 里 $d$ 是到 $x$ 轴的距离 $k$，别误用 $h$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的方程几何条件题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 20 题、1977 年上海理第 6 题同章。

2. 结论推广: 一般地，圆过/切坐标轴的问题用”圆心 $(a,b)$ + 半径”的几何意义翻译条件：切轴 ⟹ 半径等于圆心到轴距离；弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$。

3. 方法推广: 圆的方程题优先走几何条件（圆心、半径、距离），比联立方程组代数化省力得多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 1977-上海理-06