2014-广东卷理-18 解-线面垂直

本题导读

本题是立体几何的综合题。第一问考查线面垂直的判定，核心在于寻找线线垂直；第二问考查二面角的求解，通过建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式进行定量计算。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 如图 4，四边形 $ABCD$ 为正方形，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，$\angle DPC=30^{\circ }$，$AF\perp PC$ 于点 $F$，$FE//CD$ 交 $PD$ 于点 $E$.

(1) 证明：$CF\perp$ 平面 $ADF$；

(2) 求二面角 $D-AF-E$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：要证 $CF\perp$ 平面 $ADF$，需在平面 $ADF$ 内找两条相交直线与 $CF$ 垂直。已知 $AF\perp PC$，故只需证 $AD\perp PC$。由于 $PD\perp$ 平面 $ABCD$ 且 $AD\subset$ 平面 $ABCD$，可得 $AD\perp PD$，结合正方形性质 $AD\perp CD$，即可证得 $AD\perp$ 平面 $PCD$，从而得到 $AD\perp PC$。
2. 第二问：
   • 建立坐标系：以 $D$ 为原点，$DA,DC,DP$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 求点坐标：设正方形边长为 1，利用 $\angle DPC=30^{\circ }$ 求出 $PD,PC$ 长度，再根据 $AF\perp PC$ 及平行关系求出 $E,F$ 点坐标。
   • 求法向量：分别求出平面 $ADF$ 和平面 $AEF$ 的法向量。
   • 计算余弦值：利用法向量夹角公式计算二面角的余弦值。

✅【答案】

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平面 $ADF$ 的法向量；平面 $AEF$ 的法向量；计算

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$CF\perp$ 平面 $ADF$ 因为 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，$AD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PD\perp AD$。 又四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $CD\perp AD$。 因为 $PD\cap CD=D$，所以 $AD\perp$ 平面 $PCD$。 由于 $PC\subset$ 平面 $PCD$，所以 $AD\perp PC$。 又已知 $AF\perp PC$，且 $AD\cap AF=A$， 所以 $PC\perp$ 平面 $ADF$。 由于 $C,F,P$ 共线，故 $CF\perp$ 平面 $ADF$。

(2) 求二面角 $D-AF-E$ 的余弦值 设 $AB=1$，在 $Rt△PDC$ 中，$CD=1$，$\angle DPC=30^{\circ }$， 得 $PC=2$，$PD=\sqrt{3}$。 由(1)知 $CF\perp DF$，在 $Rt△PDC$ 中，$DF$ 是斜边 $PC$ 上的高， $DF=CD\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},CF=CD\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 在 $△PDC$ 中，由 $FE//CD$ 得 $\frac{DE}{PD}=\frac{EF}{CD}=\frac{PF}{PC}=\frac{2-1/2}{2}=\frac{3}{4}$。 故 $DE=\frac{3\sqrt{3}}{4},EF=\frac{3}{4}$。

建立如图所示的空间直角坐标系，则： $D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,\sqrt{3}),E(0,0,\frac{\sqrt{3}}{4}),F(0,\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$。

• 平面 $ADF$ 的法向量：由(1)知 $\overrightarrow{PC}=(0,1,-\sqrt{3})$ 是平面 $ADF$ 的一个法向量。
• 平面 $AEF$ 的法向量：设 $\vec{m}=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{AE}=(-1,0,\frac{\sqrt{3}}{4}),\overrightarrow{EF}=(0,\frac{3}{4},0)$。 由 $\vec{m}\cdot \overrightarrow{EF}=0⟹y=0$。 由 $\vec{m}\cdot \overrightarrow{AE}=0⟹-x+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0$，令 $z=4$，得 $x=\sqrt{3}$。 故 $\vec{m}=(\sqrt{3},0,4)$。
• 计算： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{PC}\cdot \vec{m}|}{|\overrightarrow{PC}|\cdot |\vec{m}|}=\frac{|0+0-4\sqrt{3}|}{2\cdot \sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{57}}{19}$ 二面角 $D-AF-E$ 为锐角，故余弦值为 $\frac{2\sqrt{57}}{19}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直判定与二面角求法。

2. 核心方法：证 $AD\perp$ 平面 $PCD$ 得 $PC\perp$ 平面 $ADF$；建系求法向量算二面角余弦。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面垂直判定定理与空间向量法。

2. 结论推广: 证线面垂直需平面内两条相交直线都垂直该线。

3. 方法推广: 二面角余弦用两平面法向量夹角计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-18 解-线面垂直
• 2013-福建卷理-19 解-线面垂直
• 2013-湖南卷理-19 解-线面垂直