2014-新课标I卷文-23 解-参数方程

本题导读

(1) $C$ 化为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}$，$l$ 化为 $2x+y-6=0$；(2) 距离合成 $|5\sin (\theta +\phi )-6|/\sqrt{5}$，$|PA|=2d$，最值 $\frac{22\sqrt{5}}{5}$ 与 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线 $l:\{\begin{array}{l}x=2+t,\\ y=2-2t,\end{array}$（$t$ 为参数）.

(1) 写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；

(2) 过曲线 $C$ 上任一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为 $30^{\circ }$ 的直线，交 $l$ 于点 $A$，求 $|PA|$ 的最大值与最小值.

🔍【思路分析】

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(1) $C$ 化为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}$，$l$ 化为 $2x+y-6=0$；(2) 距离合成 $|5\sin (\theta +\phi )-6|/\sqrt{5}$，$|PA|=2d$，最值 $\frac{22\sqrt{5}}{5}$ 与 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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(1) $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta ,\\ y=3\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数），$l$ 的普通方程为 $2x+y-6=0$ (2) 最大值 $\frac{22\sqrt{5}}{5}$，最小值 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 曲线 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数）；$l$ 消去 $t$（$t=y-2$ 的相反代入）得 $y=2-2(x-2)$，即 $2x+y-6=0$。

(2) 设 $P(2\cos \theta ,3\sin \theta )$，则 $P$ 到 $l$ 的距离

$d=\frac{|4\cos \theta +3\sin \theta -6|}{\sqrt{5}}=\frac{|5\sin (\theta +\phi )-6|}{\sqrt{5}}$（其中 $\tan \phi =\frac{4}{3}$，$\phi$ 为锐角）。

$\sin (\theta +\phi )\in [-1,1]$，故 $|5\sin (\theta +\phi )-6|\in [1,11]$。

$|PA|$ 是斜线段、$d$ 是 $P$ 到 $l$ 的垂线段，夹角 $30^{\circ }$：$|PA|=\frac{d}{\sin 30^{\circ }}=2d\in \left[\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{22}{\sqrt{5}}\right]$。

故 $|PA|$ 的最大值为 $\frac{22\sqrt{5}}{5}$，最小值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与普通方程的互化；点到直线的距离与三角最值

2. 核心方法：消参化普通方程；椭圆参数方程 + 辅助角公式

3. 避坑指南：①$4\cos \theta +3\sin \theta$ 合成 $5\sin (\theta +\phi )$ 时系数与角的对应关系别弄反；②$|PA|=\frac{d}{\sin 30^{\circ }}=2d$，别误用余弦。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆参数方程与距离最值（doc 考点定位：参数方程），2014 年新课标Ⅰ理第 23 题同卷同族（理考直线参数方程 $t$ 的几何意义）。

2. 结论推广: 一般地，椭圆上点到定直线的距离合成 $A\cos \theta +B\sin \theta +C$ 后，最值即 $|C|$ 与 $\sqrt{A^2+B^2}$ 的组合；斜线段长 = 垂距 ÷ sin(夹角)。

3. 方法推广: 参数方程问题：把”静”的对象普通方程化、“动”的点参数化，距离最值交给辅助角公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程