2014-新课标I卷理-03 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查复合函数与函数乘积、绝对值的奇偶性判定。重点在于掌握奇偶性的定义式 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的符号关系，以及绝对值符号对函数对称性的影响。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 设函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域都为 $\mathbb{R}$，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数，则下列结论正确的是 ()

A. $f(x)\cdot g(x)$ 是偶函数　　　　　　　　B. $|f(x)|\cdot g(x)$ 是奇函数

C. $f(x)\cdot |g(x)|$ 是奇函数　　　　　　　D. $|f(x)\cdot g(x)|$ 是奇函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾定义：
   • 奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$。
   • 偶函数满足 $g(-x)=g(x)$。
2. 逐项验证：设各选项对应的函数为 $H(x)$，计算 $H(-x)$ 并观察其与 $H(x)$ 的关系。
3. 绝对值性质：注意 $|-a|=|a|$，绝对值通常会把奇函数变为偶函数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

已知 $f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$。

A 选项：令 $H(x)=f(x)g(x)$。 $H(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)]\cdot g(x)=-f(x)g(x)=-H(x)$ 所以 $f(x)g(x)$ 是奇函数，A 错误。

B 选项：令 $H(x)=|f(x)|g(x)$。 $H(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=H(x)$ 所以 $|f(x)|g(x)$ 是偶函数，B 错误。

C 选项：令 $H(x)=f(x)|g(x)|$。 $H(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-H(x)$ 所以 $f(x)|g(x)|$ 是奇函数，C 正确。

D 选项：令 $H(x)=|f(x)g(x)|$。 $H(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=H(x)$ 所以 $|f(x)g(x)|$ 是偶函数，D 错误。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇 $\times$ 偶 $=$ 奇；偶 $\times$ 偶 $=$ 偶；奇 $\times$ 奇 $=$ 偶。 2. 绝对值的影响：若 $f(x)$ 是奇函数，则 $|f(x)|$ 必为偶函数；若 $f(x)$ 是偶函数，则 $|f(x)|$ 仍为偶函数。

2. 核心方法：定义法逐项验证 $H(-x)$ 与 $H(x)$ 的关系。

3. 避坑指南：不要凭直觉记忆，考试时通过 $H(-x)$ 简单推导仅需几秒钟，准确率更高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的对称性（关于直线 $x=a$ 或点 $(a,0)$ 对称）。

2. 结论推广: 两个奇函数的和仍为奇函数，两个偶函数的积仍为偶函数。

3. 方法推广: 面对抽象函数选择题，若定义法推导感到困难，可取特值验证（如令 $f(x)=x,g(x)=x^2$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性