2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削

本题导读

零件为同轴组合圆柱：左段 $r=2$、高 4，右段 $r=3$、高 2，体积 $16\pi +18\pi =34\pi$；切削体积 $54\pi -34\pi =20\pi$，比值 $\frac{10}{27}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1 cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉的部分的体积与原来毛坯体积的比值为()

A. $\frac{17}{27}$　　　　　　B. $\frac{5}{9}$　　　　　　C. $\frac{10}{27}$　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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零件为同轴组合圆柱：左段 $r=2$、高 4，右段 $r=3$、高 2，体积 $16\pi +18\pi =34\pi$；切削体积 $54\pi -34\pi =20\pi$，比值 $\frac{10}{27}$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由三视图：正视图与俯视图都是”左窄右宽”的缺角轮廓，侧视图是实线大圆与虚线小圆，可知零件是横放的共轴组合圆柱——左段是底面半径 2 cm、高 4 cm 的小圆柱，右段是底面半径 3 cm、高 2 cm 的大圆柱（小圆柱在大圆柱内部，故侧视图中它的一半轮廓不可见，画成虚线圆）。

零件体积 $V_1=\pi \times 2^2\times 4+\pi \times 3^2\times 2=16\pi +18\pi =34\pi$（cm${}^3$）。

毛坯体积 $V=\pi \times 3^2\times 6=54\pi$（cm${}^3$）。

切削掉的部分体积 $V_2=54\pi -34\pi =20\pi$，所求比值 $=\frac{20\pi }{54\pi }=\frac{10}{27}$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体；圆柱体积

2. 核心方法：“长对正、高平齐、宽相等”还原组合体 → 体积作差

3. 避坑指南：①侧视图中虚线圆是小圆柱的不可见轮廓，说明两段圆柱共轴横放，别把零件看成实心大圆柱挖孔；②切削体积 = 毛坯体积 − 零件体积，两段分别用”底面积 × 高”计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 网格三视图与体积比综合题（doc 考点定位：三视图），2014 年新课标Ⅱ理第 6 题与此题完全相同，2015 年新课标Ⅰ文第 11 题同族。

2. 结论推广: 一般地，共轴组合圆柱的三视图：轴向投影为同心圆（可见实线、不可见虚线），另两视图为”阶梯状”矩形；体积分段求和。

3. 方法推广: 三视图体积题：先还原几何体并核对每段尺寸，再分块算体积，最后按题意作差或求比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-08 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图