2014-新课标II卷文-20 解-椭圆离心率

本题导读

(1) $M\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，斜率 $\frac{b^2}{2ac}=\frac{3}{4}$ 得 $2e^2+3e-2=0$，$e=\frac{1}{2}$；(2) 由 $|M{F}_1|=4|F_{1}N|$ 得 $N=\left(-\frac{3c}{2},-\frac{b^2}{4a}\right)$，与”截距 2”联立得 $b^2=4a$、$20a^2=140a$，$a=7$，$b=2\sqrt{7}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 分别是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$ 的左、右焦点，$M$ 是 $C$ 上一点且 $M{F}_2$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M{F}_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$.

(1) 若直线 $MN$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$，求 $C$ 的离心率；

(2) 若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 2，且 $|MN|=5|F_{1}N|$，求 $a$，$b$.

🔍【思路分析】

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(1) $M\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，斜率 $\frac{b^2}{2ac}=\frac{3}{4}$ 得 $2e^2+3e-2=0$，$e=\frac{1}{2}$；(2) 由 $|M{F}_1|=4|F_{1}N|$ 得 $N=\left(-\frac{3c}{2},-\frac{b^2}{4a}\right)$，与”截距 2”联立得 $b^2=4a$、$20a^2=140a$，$a=7$，$b=2\sqrt{7}$。

✅【答案】

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(1) $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ (2) $a=7$，$b=2\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $M{F}_2\perp x$ 轴，$M$ 在右焦点 $F_2(c,0)$ 正上方（取第一象限），$M\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$。

$k_{M{F}_1}=\frac{b^2/a}{c-(-c)}=\frac{b^2}{2ac}=\frac{3}{4}$，即 $4b^2=6ac$。代入 $b^2=a^2-c^2$ 并同除 $a^2$：$4(1-e^2)=6e$，$2e^2+3e-2=0$，$e=\frac{1}{2}$（舍负）。

(2) $|MN|=5|F_{1}N|$ 且 $F_1$ 在 $M$、$N$ 之间，故 $|M{F}_1|=4|F_{1}N|$，$F_1$ 分线段 $MN$ 成 $4:1$。

由定比分点：$N=\frac{5F_1-M}{4}=\left(\frac{-5c-c}{4},\frac{0-b^2/a}{4}\right)=\left(-\frac{3c}{2},-\frac{b^2}{4a}\right)$。

$N$ 在椭圆上：$\frac{9c^2}{4a^2}+\frac{b^2}{16a^2}=1$，即 $36c^2+b^2=16a^2$……①

截距条件：直线 $MN$ 过 $F_1(-c,0)$ 与 $M\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，斜率为 $\frac{b^2}{2ac}$；其与 $y$ 轴交点纵坐标为 $0+\frac{b^2}{2ac}\cdot c=\frac{b^2}{2a}=2$，故 $b^2=4a$……②

①②联立：$36(a^2-b^2)+4a=16a^2$，代入 $b^2=4a$：$36a^2-144a+4a=16a^2$，$20a^2-140a=0$，$a=7$（$a>0$）。

$b^2=28$，$b=2\sqrt{7}$。

检验：$c=\sqrt{21}$，$|M{F}_1|=\sqrt{(2c{)}^2+(b^2/a{)}^2}=\sqrt{84+16}=10$；$N=\left(-\frac{3\sqrt{21}}{2},-1\right)$，$|F_{1}N|=\sqrt{\frac{21}{4}+1}=\frac{5}{2}$，$|MN|=\frac{25}{2}=5\times \frac{5}{2}$ ✓；直线截距 $4-\frac{4}{2\sqrt{21}}\cdot \sqrt{21}=2$ ✓。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的通径与焦点弦；离心率；定比分点与点在椭圆上的条件

2. 核心方法：”$M{F}_2\perp x$ 轴”写出 $M$ 的坐标；$|MN|=5|F_{1}N|$ 翻译成定比分点；截距条件再列一式

3. 避坑指南：①$M$ 的纵坐标是 $\frac{b^2}{a}$（通径端点），不是 $\frac{b^2}{c}$；②$|MN|=5|F_{1}N|$ 要先画图确定 $F_1$ 在 $M$、$N$ 之间，把比例转成分点公式；③斜率与截距两条信息分别列方程，别混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆综合解答题（doc 考点定位：椭圆、离心率），与 2014 年新课标Ⅰ文第 20 题（圆的轨迹）同卷，2015 年新课标Ⅰ文第 16 题同章。

2. 结论推广: 一般地，通径端点 $M\left(\pm c,\frac{b^2}{a}\right)$ 与焦点连线的斜率 $\frac{b^2}{2ac}$ 只含离心率，是”斜率定 $e$“的标准入口；“线段比例 + 截距”型条件优先用定比分点写出另一交点坐标。

3. 方法推广: 圆锥曲线解答题：几何条件逐条坐标化（点坐标、斜率、分点、截距），联立消元，最后回代检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线