2014-湖北卷理-19 解-线面平行

本题导读

本题以正方体为载体，综合考查空间线面位置关系的证明及二面角的探究。第一问利用线线平行推导线面平行；第二问利用空间向量法建立关于参数 $\lambda$ 的方程，探究二面角为直角的情况。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E,F,M,N$ 分别是棱 $AB,AD,A_1{B}_1,A_1{D}_1$ 的中点，点 $P,Q$ 分别在棱 $D{D}_1,B{B}_1$ 上移动，且 $DP=BQ=\lambda (0<\lambda <2)$.

(1) 当 $\lambda =1$ 时，证明：直线 $B{C}_1//$ 平面 $EFPQ$；

(2) 是否存在 $\lambda$，使平面 $EFPQ$ 与平面 $PQMN$ 所成的二面角为直二面角？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明平行）：
   • 几何法：连接 $A{D}_1$。在正方体中容易证明 $B{C}_1//A{D}_1$。当 $\lambda =1$ 时，$P$ 为 $D{D}_1$ 中点，结合 $F$ 是 $AD$ 中点，可证明 $FP//A{D}_1$，从而得到 $B{C}_1//FP$，进而证得线面平行。
   • 向量法：建立空间直角坐标系，求出直线 $B{C}_1$ 的方向向量和平面 $EFPQ$ 的法向量，证明两向量垂直（且直线不在面内）。
2. 第二问（二面角探究）：
   • 建立坐标系：以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 求法向量：分别求出平面 $EFPQ$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 和平面 $PQMN$ 的法向量 $\mathbf{m}$（均含有参数 $\lambda$）。
   • 建立方程：二面角为直二面角 $⟺\mathbf{n}\cdot \mathbf{m}=0$。解关于 $\lambda$ 的方程。

✅【答案】

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所以直线 $B{C}_1//$ 平面 $EFPQ$。；所以存在 $\lambda =1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，使两平面垂直

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明（向量法）：

以 $D$ 为坐标原点，$DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 由棱长为 2 及中点定义知： $B(2,2,0),C_1(0,2,2),F(1,0,0),E(2,1,0),P(0,0,\lambda ),Q(2,2,\lambda )$。 当 $\lambda =1$ 时，$P(0,0,1)$。 $\overrightarrow{B{C}_1}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{FP}=(-1,0,1)$。 可知 $\overrightarrow{B{C}_1}=2\overrightarrow{FP}$，所以 $B{C}_1//FP$。 又 $FP\subset$ 平面 $EFPQ$，$B{C}_1\not\subset$ 平面 $EFPQ$， 所以直线 $B{C}_1//$ 平面 $EFPQ$。

(2) 解： 设平面 $EFPQ$ 的一个法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{FE}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{FP}=(-1,0,\lambda )$。 由 $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{FE}=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{FP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y=0\\ -x+\lambda z=0\end{array}$。 令 $z=1$，得 $x=\lambda ,y=-\lambda$，故 $\mathbf{n}=(\lambda ,-\lambda ,1)$。

同理，对于平面 $PQMN$，其点坐标为 $M(2,1,2),N(1,0,2),P(0,0,\lambda ),Q(2,2,\lambda )$。 $\overrightarrow{NM}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{NP}=(-1,0,\lambda -2)$。 设平面 $PQMN$ 的法向量为 $\mathbf{m}=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$。 由 $\{\begin{array}{l}\mathbf{m}\cdot \overrightarrow{NM}=0\\ \mathbf{m}\cdot \overrightarrow{NP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }+y^{\prime }=0\\ -x^{\prime }+(\lambda -2)z^{\prime }=0\end{array}$。 令 $z^{\prime }=1$，得 $x^{\prime }=\lambda -2,y^{\prime }=2-\lambda$，故 $\mathbf{m}=(\lambda -2,2-\lambda ,1)$。

若两个平面所成的二面角为直二面角，则 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{m}=0$： $\lambda (\lambda -2)+(-\lambda )(2-\lambda )+1\times 1=0$ ${\lambda }^2-2\lambda -2\lambda +{\lambda }^2+1=0$ $2{\lambda }^2-4\lambda +1=0$ 解得 $\lambda =\frac{4\pm \sqrt{16-8}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 因为 $0<1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}<2$ 均成立， 所以存在 $\lambda =1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，使两平面垂直。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行判定与直二面角探究

2. 核心方法：建系证 $B{C}_1//FP$ 得线面平行，求两平面法向量令其数量积为 0 解 $\lambda$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间向量法证平行与二面角

2. 结论推广: 直二面角等价于两平面法向量垂直。

3. 方法推广: 可迁移到空间向量法证平行、探究二面角类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2013-新课标II卷理-18 解-线面平行
• 2013-安徽卷理-19 解-线面平行