2014-湖南卷文-10 单-向量模

本题导读

求出 $D$ 的轨迹，把三个向量的和表示成定点向量加动点向量。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A(-1,0)$，$B(0,\sqrt{3})$，$C(3,0)$，动点 $D$ 满足 $|\overrightarrow{CD}|=1$，则 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$ 的取值范围是()

A. $[4,6]$　　　B. $[\sqrt{19}-1,\sqrt{19}+1]$　　　C. $[2\sqrt{3},2\sqrt{7}]$　　　D. $[\sqrt{7}-1,\sqrt{7}+1]$

🔍【思路分析】

破题导航

$D$ 在以 $C$ 为圆心的单位圆上，将和向量化简为 $(-1,\sqrt{3})+\overrightarrow{OD}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $|\overrightarrow{CD}|=1$ 知 $D$ 在以 $C(3,0)$ 为圆心、$1$ 为半径的圆上。$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(-1,0)+(0,\sqrt{3})+\overrightarrow{OD}=(-1,\sqrt{3})+\overrightarrow{OD}$。设 $\overrightarrow{OD}=(3+\cos \theta ,\sin \theta )$，则和为 $(2+\cos \theta ,\sqrt{3}+\sin \theta )$，其模的平方 $=(2+\cos \theta {)}^2+(\sqrt{3}+\sin \theta {)}^2=8+4\cos \theta +2\sqrt{3}\sin \theta =8+2\sqrt{7}\cos (\theta -\phi )$，故模长的取值范围为 $[\sqrt{8-2\sqrt{7}},\sqrt{8+2\sqrt{7}}]=[\sqrt{7}-1,\sqrt{7}+1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的模与轨迹

2. 核心方法：和向量的模归结为「定点到动点距离」

3. 避坑指南：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(-1,\sqrt{3})+\overrightarrow{OD}$，而 $D$ 在以 $C(3,0)$ 为圆心、半径 $1$ 的圆上，模长范围是「$|(-1,\sqrt{3})|$ 与半径的和差」；关键是先把 $D$ 的轨迹视为圆再用三角不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量加法的几何意义与轨迹范围。

2. 结论推广: $||\vec{a}|-|\vec{b}||⩽|\vec{a}+\vec{b}|⩽|\vec{a}|+|\vec{b}|$。

3. 方法推广: 动点轨迹为圆时，向量线性组合的模长范围用三角不等式或三角换元参数化处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-11 填-参数方程互化
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义