2014-湖南卷理-11 填-参数方程互化

本题导读

本题考查参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的综合转化。解题关键在于通过弦长等于直径判断出直线过圆心，进而确定直线方程并完成极坐标化。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 在平面直角坐标系中，倾斜角为 $\frac{\pi }{4}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C:\{\begin{array}{l}x=2+\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数）交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=2$.以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 $l$ 的极坐标方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化曲线参数方程为普通方程：利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 消去参数 $\alpha$，识别曲线 $C$ 的形状（圆）。
2. 分析几何关系：计算圆的半径 $r$。根据已知弦长 $|AB|=2$ 与直径的关系，判断直线 $l$ 的位置特征（过圆心）。
3. 确定直线直角坐标方程：已知直线的倾斜角（即斜率）和所过定点（圆心），写出直线方程。
4. 互化极坐标方程：利用 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 进行转化。

✅【答案】

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$\rho (\cos \theta -\sin \theta )=1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转换曲线 $C$ 的方程 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x-2=\cos \alpha \\ y-1=\sin \alpha \end{array}$，两式平方相加得： $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 故曲线 $C$ 是以 $(2,1)$ 为圆心，半径 $r=1$ 的圆。

第二步：分析直线 $l$ 的性质 已知圆的直径 $2r=2$。 又已知直线 $l$ 截圆所得弦长 $|AB|=2$，即弦长等于直径。 因此，直线 $l$ 必经过圆心 $(2,1)$。

第三步：求直线的直角坐标方程 直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{4}$，则斜率 $k=\tan \frac{\pi }{4}=1$。 利用点斜式，直线方程为： $y-1=1\cdot (x-2)⟹y=x-1$ 整理得：$x-y=1$。

第四步：转化为极坐标方程 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$： $\rho \cos \theta -\rho \sin \theta =1$ $\rho (\cos \theta -\sin \theta )=1$

故答案为 $\rho (\cos \theta -\sin \theta )=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程、直角坐标方程与极坐标方程互化

2. 核心方法：消参得圆 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$，由弦长＝直径判直线过圆心，点斜式求方程后极坐标化

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 参数方程消参与直线过圆心

2. 结论推广: 弦长等于直径时直线过圆心。

3. 方法推广: 可迁移到参数方程与极坐标方程互化类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-23 解-参数方程互化
• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程