2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程

本题导读

(1) 设切点 $P(x_0,y_0)$，写出切线方程与两截距，用基本不等式求面积最小值；(2) 由 $P$ 在椭圆上得 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{2}$，把直线 $y=x+\sqrt{3}$ 代入椭圆，用弦长与点线距离表示 $△PAB$ 的面积。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 圆 $x^2+y^2=4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图）.

(1) 求点 $P$ 的坐标；

(2) 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 过点 $P$，且与直线 $l:y=x+\sqrt{3}$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $△PAB$ 的面积为 $2$，求 $C$ 的标准方程.

🔍【思路分析】

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(1) 切点处切线方程为 $x_{0}x+y_{0}y=4$，截距为 $\frac{4}{x_0}$、$\frac{4}{y_0}$；(2) 令 $u=\frac{1}{b^2}$，把「$P$ 在椭圆上」与「弦长 $AB$」都用 $u$ 表示。

✅【答案】

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(1) $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$；(2) $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设第一象限内的切点为 $P(x_0,y_0)$，则 $x_0^2+y_0^2=4$，且 $x_0,y_0>0$。 圆在 $P$ 处的切线方程为 $x_{0}x+y_{0}y=4$，它在两坐标轴正半轴上的截距分别为 $\frac{4}{x_0}$ 与 $\frac{4}{y_0}$。 围成的三角形面积 $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{x_0}\cdot \frac{4}{y_0}=\frac{8}{x_0{y}_0}$。 要使 $S$ 最小，只需 $x_0{y}_0$ 最大。由 $2x_0{y}_0⩽x_0^2+y_0^2=4$ 得 $x_0{y}_0⩽2$，等号当且仅当 $x_0=y_0$ 时成立。 所以 $x_0=y_0=\sqrt{2}$，即 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$。 (2) 设椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$。 因为 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 在 $C$ 上，所以 $\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$，即 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{2}$。 令 $u=\frac{1}{b^2}$，则 $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2}-u$。 把 $y=x+\sqrt{3}$ 代入椭圆方程，得 $\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)x^2+\frac{2\sqrt{3}}{b^2}x+\frac{3}{b^2}-1=0$，即 $\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{3}ux+3u-1=0$。 设两根为 $x_1$，$x_2$，则判别式 $\Delta =(2\sqrt{3}u{)}^2-4\times \frac{1}{2}(3u-1)=12u^2-6u+2$。 由求根公式，$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta }}{1/2}=2\sqrt{\Delta }$。因为直线 $l$ 的斜率为 $1$，所以 $|AB|=\sqrt{1+1}\cdot |x_1-x_2|=2\sqrt{2\Delta }$。 点 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 到直线 $l:x-y+\sqrt{3}=0$ 的距离为 $d=\frac{|\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$。 由 $△PAB$ 的面积为 $2$，得 $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2\Delta }\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3\Delta }=2$， 所以 $\Delta =\frac{4}{3}$，即 $12u^2-6u+2=\frac{4}{3}$，整理得 $18u^2-9u+1=0$， 解得 $u=\frac{1}{3}$ 或 $u=\frac{1}{6}$。 当 $u=\frac{1}{3}$ 时，$b^2=3$，$a^2=6$；当 $u=\frac{1}{6}$ 时，$b^2=6$，$a^2=3$，与 $a>b$ 矛盾，舍去。 所以椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线与椭圆的标准方程

2. 核心方法：面积最值定切点，弦长与距离求方程

3. 避坑指南：(1) 由 $x_0{y}_0⩽\frac{x_0^2+y_0^2}{2}=2$ 得切点 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$；(2) 椭圆过 $P$ 给出 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{2}$，代入弦长与点到直线距离解出 $a^2$、$b^2$，注意 $a>b$ 要舍去一组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程。

2. 结论推广: 圆 $x^2+y^2=r^2$ 上点 $(x_0,y_0)$ 处的切线为 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$，两截距之积与三角形面积相关。

3. 方法推广: 求椭圆方程时先把「过某点」化为 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，再用弦长、面积条件定出剩余参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线
• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-20 解-椭圆与双曲线的标准方程
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质