2014-辽宁卷理-19 解-线线垂直

本题导读

本题结合面面垂直的背景，考查线线垂直的证明以及二面角的正弦值计算。核心在于利用垂直关系建立空间直角坐标系，将几何问题转化为代数运算。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 如图，$△ABC$ 和 $△BCD$ 所在平面互相垂直，且 $AB=BC=BD=2$，$\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ }$，$E,F$ 分别为 $AC,DC$ 的中点.

(1) 求证：$EF\perp BC$；

(2) 求二面角 $E-BF-C$ 的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明线线垂直
   • 几何法：利用中位线性质或构造垂直于 $BC$ 的平面。由于 $△ABC$ 和 $△BCD$ 是全等的等腰三角形，且面面垂直，可以通过构造垂足并证明线面垂直来导出结果。
   • 向量法：建立空间直角坐标系，写出向量 $\overrightarrow{EF}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标，证明其数量积为 $0$。
2. 第二问：计算二面角正弦值
   • 建系：利用平面 $ABC\perp$ 平面 $BCD$ 这一条件，以 $B$ 为原点，在平面 $BCD$ 内过 $B$ 且垂直于 $BC$ 的直线为 $x$ 轴，$BC$ 为 $y$ 轴，过 $B$ 且垂直于平面 $BCD$ 的直线为 $z$ 轴。
   • 向量法：分别求出平面 $BFC$ 和平面 $EBF$ 的法向量，求出二面角的余弦值，进而转化为正弦值。

✅【答案】

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（空间向量法）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： （空间向量法）

由于平面 $ABC\perp$ 平面 $BCD$，且 $△BCD$ 是等腰三角形。 以 $B$ 为坐标原点，$BC$ 所在直线为 $y$ 轴，在平面 $BCD$ 内过 $B$ 垂直于 $BC$ 的直线为 $x$ 轴，过 $B$ 垂直于平面 $BCD$ 的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。 由已知 $AB=BC=BD=2,\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ }$ 可得各点坐标： $B(0,0,0),C(0,2,0),D(\sqrt{3},-1,0),A(0,-1,\sqrt{3})$。 因为 $E,F$ 分别为 $AC,DC$ 的中点，由中点坐标公式： $E(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),F(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$。 则 $\overrightarrow{EF}=(\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$。 因为 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 0+0\times 2+(-\frac{\sqrt{3}}{2})\times 0=0$， 所以 $EF\perp BC$。

(2) 解： 易知平面 $BFC$ 即为 $xOy$ 平面，其法向量可取为 $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$。 设平面 $EBF$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$。 已知 $\overrightarrow{BE}=(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{BF}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$。 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{BF}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0\end{array}$。 令 $x=1$，则 $y=-\sqrt{3},z=1$。故 $\overrightarrow{n_2}=(1,-\sqrt{3},1)$。 设二面角 $E-BF-C$ 的平面角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1|}{\sqrt{1}\times \sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 由于 $\theta$ 为二面角的平面角（锐角），则： $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 故二面角 $E-BF-C$ 的正弦值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线线垂直、二面角的向量法求解。

2. 核心方法：空间直角坐标系的建立。找到两两垂直的直线是建系的关键，本题中面面垂直提供了天然的垂直轴。

3. 避坑指南：第一问中 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 仅能证明垂直，若要求线面垂直则需数量积关系更丰富。第二问求得的是余弦值，题目要求的是“正弦值”，注意转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 点到平面的距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。

2. 结论推广: 线面垂直判定定理、二面角的平面角定义。

3. 方法推广: 坐标法适用于大多数含有垂直关系的立体几何题，尤其是求夹角和距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-18 解-线面垂直
• 2013-福建卷理-19 解-线面垂直
• 2013-湖南卷理-19 解-线面垂直