2014-陕西卷理-10 单-导数几何意义

本题导读

本题是一个实际应用背景下的函数解析式求解题。核心在于将物理运动特征（水平飞行、着陆）转化为数学条件（函数值、导数值），并利用三次函数的对称性简化计算。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距离着陆点 $A$ 的水平距离 10 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为()

A. $y=\frac{1}{125}{x}^3-\frac{3}{5}x$　　　　　　　　　　B. $y=\frac{2}{125}{x}^3-\frac{4}{5}x$

C. $y=\frac{3}{125}{x}^3-x$　　　　　　　　　　　　D. $y=-\frac{3}{125}{x}^3+\frac{1}{5}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立数学模型：由图可知，坐标原点 $O$ 位于下降过程的中点。
2. 提取坐标条件：
   • 轨迹过原点 $(0,0)$。
   • 初始点（左侧）：当水平距离为 $-5$ 时，高度为 $2$，即 $f(-5)=2$。
   • 着陆点（右侧）：当水平距离为 $5$ 时，高度为 $-2$，即 $f(5)=-2$。
3. 提取导数条件：
   • 在起点和终点，飞行器处于“水平”状态或完成着陆平滑过渡，意味着这两点的切线斜率为 0，即 $f^{\prime }(-5)=0$ 且 $f^{\prime }(5)=0$。
4. 利用对称性简化：图像关于原点中心对称，故该三次函数为奇函数，设 $f(x)=a{x}^3+cx$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设函数解析式 观察图像，函数经过原点且关于原点对称，设三次函数解析式为： $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 由于 $f(0)=0$，得 $d=0$。 由图像对称性知 $f(x)$ 为奇函数，故 $b=0$。 即设 $f(x)=a{x}^3+cx$。

第二步：求导数 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$

第三步：建立方程组 代入已知点 $(5,-2)$ 以及在该点的导数条件（水平过渡 $f^{\prime }(5)=0$）： 5. $f(5)=a\cdot 5^3+c\cdot 5=-2⟹125a+5c=-2$ ① 6. $f^{\prime }(5)=3a\cdot 5^2+c=0⟹75a+c=0$ ②

第四步：求解系数 由 ② 得 $c=-75a$，代入 ①： $125a+5(-75a)=-2$ $125a-375a=-2$ $-250a=-2⟹a=\frac{1}{125}$

将 $a$ 代入 ②： $c=-75\cdot \frac{1}{125}=-\frac{3}{5}$

结论： 函数的解析式为 $y=\frac{1}{125}{x}^3-\frac{3}{5}x$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求函数解析式。关键是能从“水平飞行”读出 $f^{\prime }(x)=0$。

2. 核心方法：奇偶性的应用。通过观察图像的对称中心在原点，直接省略二次项和常数项，可以减少一半的计算量。

3. 避坑指南：有些同学可能只代入坐标点 $(5,-2)$，会发现满足条件的选项不止一个，必须结合导数（极值点）条件才能唯一确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的极值、三次函数的对称中心。

2. 结论推广: 任意中心对称的三次函数均可表示为 $f(x)=a(x-x_0{)}^3+c(x-x_0)+y_0$。

3. 方法推广: 实际问题中的“平滑衔接”在数学上通常对应着导数相等或导数为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-22 解-导数
• 2013-湖南卷文-01 单-复数几何意义
• 2013-江西卷文-01 单-复数几何意义