2015-上海卷文-10 填-组合数

本题导读

考查组合计数中的”至少/都有”型问题。正难则反，用总数减去不符合条件的选法最快。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血. 要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 $\underline{}$.（结果用数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先算无限制地从 9 人中选 5 人的总数 ${\mathrm{C}}_9^5$。
2. 再减去”全男""全女”两种不合要求的选法。
3. 注意 3 名男教师不可能选出 5 人，该项计 0。

✅【答案】

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$120$

✍【详细解析】

Abstract

从 9 人中任选 5 人共有

${\mathrm{C}}_9^5={\mathrm{C}}_9^4=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$

种。其中不符合”男女都有”的只有”全为女教师”一种情形：

${\mathrm{C}}_6^5=6.$

（“全为男教师”需从 3 人中选 5 人，不可能，计 $0$ 种。）

故所求为 $126-6=120$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数计算；“至多/至少/都”型计数的间接法。

2. 核心方法：“正难则反”：总体减反面，避免繁琐的分类讨论。

3. 避坑指南：${\mathrm{C}}_3^5$ 无意义（应记 0），不要漏掉”全男”这一项的判断；本题人数分布决定了该项自然为零。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：计数原理是必考知识点，上海卷常以”男女都有""至少一名”等限定语设置陷坑。

2. 结论推广: 若改为”要求至少有 1 名男教师”，则直接用 ${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_6^4+{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_6^3+{\mathrm{C}}_3^3{\mathrm{C}}_6^2=120$，同样得 120，两种解法可互相印证。

3. 方法推广: “总体减反面”适用于一切”至少/至多”型问题，是排列组合中最重要的避险技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-8