2017-上海卷-06 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及双曲线的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷）设双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为该双曲线上的点.若 $∣ P F_{1} ∣ = 5$ ，则 $∣ P F_{2} ∣ =$ .

🔍【思路分析】

破题导航

提取参数：从标准方程 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 中可知 $a^{2} = 9$ ，从而得到 $a = 3$ 。

运用定义：双曲线的定义规定，曲线上任意一点 $P$ 到两个焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之差的绝对值等于 $2 a$ 。即 $∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 2 a$ 。

建立方程：将 $a = 3$ 和 $∣ P F_{1} ∣ = 5$ 代入公式 $∣5 - ∣ P F_{2} ∣∣ = 6$ 。

解方程并检验：求出 $∣ P F_{2} ∣$ 的可能值，并注意距离必须为正数，且需满足双曲线焦半径的最小限制（ $∣ P F ∣ \geq c - a$ 或根据三角形性质判断）。

✅【答案】

点击查看答案

11

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 11 【解析过程】由双曲线方程 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 可知： $a^{2} = 9$ ，故 $a = 3$ ， $2 a = 6$ 。根据双曲线的第一定义，有： $∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 2 a = 6$ 已知 $∣ P F_{1} ∣ = 5$ ，代入得： $∣5 - ∣ P F_{2} ∣∣ = 6$ 解得： $5 - ∣ P F_{2} ∣ = 6 \Rightarrow ∣ P F_{2} ∣ = - 1$ （舍去，距离不能为负）；或 $5 - ∣ P F_{2} ∣ = - 6 \Rightarrow ∣ P F_{2} ∣ = 11$ 。所以 $∣ P F_{2} ∣ = 11$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心定义：双曲线是平面内到两个定点距离之差的绝对值为定值的点的集合。定义式中的“绝对值”符号极其重要，决定了 $P$ 点在左支还是右支。

范围限制：在双曲线 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 中， $∣ P F ∣_{m i n} = c - a$ 。由于 $∣ P F_{1} ∣ = 5$ 且 $2 a = 6$ ，若 $∣ P F_{2} ∣ = 11$ ，则 $11 - 5 = 6$ 满足定义。

此类题目解题模板化极强。看到焦点距离，首选第一定义。计算时直接列出 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = \pm 2 a$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式思考：若题目改为椭圆 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，则 $∣ P F_{2} ∣ =$ ？（提示：利用 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ 。由于 $a = 3$ ，则 $5 + ∣ P F_{2} ∣ = 6 \Rightarrow ∣ P F_{2} ∣ = 1$ ）。

分支判定：本题中 $∣ P F_{2} ∣ > ∣ P F_{1} ∣$ ，且焦点在 $x$ 轴上，说明点 $P$ 位于双曲线的左支（靠近 $F_{1}$ 一侧）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

2014-湖北卷文-08 单-双曲线

2015-新课标I卷文-16 填-双曲线

2015-新课标II卷文-15 填-双曲线

∑ ( Math )

Explorer

2017-上海卷-06 填-双曲线

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks