2017-上海卷-20 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于坐标法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{4}+y^2=1$，$A$ 为 $\Gamma$ 的上顶点，$P$ 为 $\Gamma$ 上异于上、下顶点的动点，$M$ 为 $x$ 正半轴上的动点.

(1)若 $P$ 在第一象限，且 $|OP|=\sqrt{2}$，求 $P$ 的坐标；

(2)设 $P\left(\frac{8}{5},\frac{3}{5}\right)$，若以 $A,P,M$ 为顶点的三角形是直角三角形，求 $M$ 的横坐标；

(3)若 $|MA|=|MP|$，直线 $AQ$ 与 $\Gamma$ 交于另一点 $C$，且 $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}$，求直线 $AQ$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：联立椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 与圆方程 $x^2+y^2=2$ 即可求得。
2. 第二问：$M(x_0,0)$，$A(0,1)$，$P(8/5,3/5)$。需分 $\angle P=90^{\circ }$、$\angle M=90^{\circ }$、$\angle A=90^{\circ }$ 三种情况讨论。利用向量数量积为 0 建立关于 $x_0$ 的方程。
3. 第三问：

• 坐标设定：利用参数方程设 $C(2\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$P(2\cos \beta ,\sin \beta )$。
• 几何转化：$|MA|=|MP|$ 意味着 $M$ 在线段 $AP$ 的中垂线上。
• 向量平铺：由 $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}$ 得到 $Q$ 坐标关于 $\alpha$ 的表达式；由 $\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}$ 建立 $P,Q,M$ 间的坐标联系。
• 联立求解：消去参数，解出 $\sin \alpha$，进而确定直线斜率。

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$M$ 的横坐标为 $\frac{29}{20}$ 或 $1$ 或 $\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)设 $P(x,y)$ ($x>0,y>0$)。 由 $P$ 在椭圆上得 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，由 $|OP|=\sqrt{2}$ 得 $x^2+y^2=2$。 两式相减得 $\frac{3x^2}{4}=1\Rightarrow x^2=\frac{4}{3},y^2=\frac{2}{3}$。 因为 $x,y>0$，故 $P(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3})$。

(2)设 $M(x_0,0)$ ($x_0>0$)，$A(0,1)$，$P(\frac{8}{5},\frac{3}{5})$。

• 若 $\angle P=90^{\circ }$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PM}=0$，即 $(-\frac{8}{5},\frac{2}{5})\cdot (x_0-\frac{8}{5},-\frac{3}{5})=0$。 解得 $x_0=\frac{29}{20}$。
• 若 $\angle M=90^{\circ }$，则 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MP}=0$，即 $(-x_0,1)\cdot (\frac{8}{5}-x_0,\frac{3}{5})=0$。 整理得 $x_0^2-\frac{8}{5}{x}_0+\frac{3}{5}=0$，解得 $x_0=1$ 或 $x_0=\frac{3}{5}$。
• 若 $\angle A=90^{\circ }$，通过计算斜率或向量可知 $M$ 点在 $x$ 轴负半轴，不合题意。 综上，$M$ 的横坐标为 $\frac{29}{20}$ 或 $1$ 或 $\frac{3}{5}$。


(3)设 $C(2\cos \alpha ,\sin \alpha )$。 由 $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC},A(0,1)$ 得 $Q(4\cos \alpha ,2\sin \alpha -1)$。 设 $P(2\cos \beta ,\sin \beta ),M(x_0,0)$。 由 $|MA|=|MP|$ 得 $x_0^2+1=(2\cos \beta -x_0{)}^2+{\sin }^2\beta$， 整理得 $x_0=\frac{3}{4}\cos \beta$。 又由 $\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\frac{4}{3}\overrightarrow{QM}$。 代入坐标：$(4\cos \alpha -2\cos \beta ,2\sin \alpha -\sin \beta -1)=4(x_0-2\cos \beta ,-\sin \beta )$。 联立得 $4\cos \alpha -2\cos \beta =-5\cos \beta$ 且 $2\sin \alpha -\sin \beta -1=-4\sin \beta$。 即 $\cos \beta =-\frac{4}{3}\cos \alpha$，$\sin \beta =\frac{1}{3}(1-2\sin \alpha )$。 由 ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$ 得： $\frac{16}{9}{\cos }^2\alpha +\frac{1}{9}(1-2\sin \alpha {)}^2=1$。 代入 ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$ 整理得：$3{\sin }^2\alpha +\sin \alpha -2=0$。 解得 $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ 或 $\sin \alpha =-1$（舍去）。 此时 $C$ 点第一象限坐标对应 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$。 直线 $AC$ 的斜率 $k=\frac{\sin \alpha -1}{2\cos \alpha }=\frac{\sqrt{5}}{10}$ (负值舍去)。 所以直线 $AQ$ 的方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{10}x+1$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 直角三角形的讨论：解析几何中提到直角三角形，必须分三个顶点分别为直角的情况进行讨论，这是典型得分点。
• 定比分点与向量：第三问中 $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}$ 表明 $C$ 是 $AQ$ 的中点。灵活转化向量语言为坐标语言是解压轴题的基本功。
• 在处理椭圆上的动点关系时，使用参数方程 $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ 往往比直接用 $(x,y)$ 联立方程组更能简化最后的代数运算，尤其是需要利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 消参时。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若将 $|MA|=|MP|$ 改为 $△AMP$ 面积为定值，题目难度将如何变化？
2. 知识关联：本题考查的向量定比分点性质在近几年高考中频度极高，建议加强对向量数乘几何意义的理解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-22 解-椭圆综合
• 2015-山东卷文-21 解-椭圆综合
• 2020-北京卷-20 解-椭圆综合